高等數(shù)學(xué)（二）
本大綱適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)以及職業(yè)教育類、生物科學(xué)類、地理科學(xué)類、環(huán)境科學(xué)類、心理學(xué)類、藥學(xué)類等六個(gè)一級學(xué)科的考生。
總要求
考生應(yīng)按本大綱的要求了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)微積分初步的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決簡單的實(shí)際問題。
本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。
復(fù)習(xí)考試內(nèi)容
一、函數(shù)、極限和連續(xù)
（一）函數(shù)
1．知識范圍
（1）函數(shù)的概念
函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù) 隱函數(shù)
（2）函數(shù)的性質(zhì)
單調(diào)性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函數(shù)
反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖像
（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算
（5）基本初等函數(shù)
冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)
（6）初等函數(shù)
2．要求
（1）理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會(huì)作出簡單的分段函數(shù)圖像。
（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函數(shù) 與其反函數(shù) 之間的關(guān)系（定義域、值域、圖像），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。
（4）熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。
（5）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。
（6）了解初等函數(shù)的概念。
（7）會(huì)建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。
（二）極限
1．知識范圍
（1）數(shù)列極限的概念
數(shù)列 數(shù)列極限的定義
（2）數(shù)列極限的性質(zhì)
唯一性 有界性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理
（3）函數(shù)極限的概念
函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 趨于無窮 時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義
（4）函數(shù)極限的性質(zhì)
唯一性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理
（5）無窮小量與無窮大量
無窮小量與無窮大量的定義 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 無窮小量的性質(zhì) 無窮小量的階
（6）兩個(gè)重要極限


2．要求
（1）了解極限的概念（對極限定義中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，以及函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。
（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。
（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)用等價(jià)無窮小量代換求極限。
（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
（三）連續(xù)
1．知識范圍
（1）函數(shù)連續(xù)的概念
函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類
（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)
四則運(yùn)算連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)連續(xù)性
（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理（包括零點(diǎn)定理）
（4）初等函數(shù)的連續(xù)性
2．要求
（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處的連續(xù)性的方法。
（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。
（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用它們證明一些簡單命題。
（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學(xué)
（一）導(dǎo)數(shù)與微分
1．知識范圍
（1）導(dǎo)數(shù)概念
導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件
導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式
（3）求導(dǎo)方法
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法
（4）高階導(dǎo)數(shù)
高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
（5）微分
微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性
2．要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。
（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。
（4）掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（5）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
（6）理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。
（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1．知識范圍
（1）中值定理
羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必達(dá)（L’Hospital）法則
（3）函數(shù)增減性的判定法
（4）函數(shù)的極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值
（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)
（6）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2．要求
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理（知道它們的條件、結(jié)論及其幾何意義）。
（2）熟練掌握用洛必達(dá)法則求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的極限的方法。
（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡單的應(yīng)用問題。
（5）會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。
（6）會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
（7）會(huì)作函數(shù)的圖形。
三、一元函數(shù)積分學(xué)
（一）不定積分
1．知識范圍
（1）不定積分
原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)
（2）基本積分公式
（3）換元積分法
第一換元法（湊微分法） 第二換元法
（4）分部積分法
（5）一些簡單有理函數(shù)的積分
2．要求
（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。
（二）定積分
1．知識范圍
（1）定積分的概念
定積分的定義及其幾何意義 可積條件
（2）定積分的性質(zhì)
（3）定積分的計(jì)算
變上限的定積分 牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 換元積分法
分部積分法
（4）無窮區(qū)間的廣義積分
收斂 發(fā)散 計(jì)算方法
（5）定積分的應(yīng)用
平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積
2．要求
（1）理解定積分的概念及其幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。
（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成旋轉(zhuǎn)體的體積。

四、多元函數(shù)微積分初步
1．知識范圍
（1）多元函數(shù)
多元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的定義域 二元函數(shù)的幾何意義
（2）二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）偏導(dǎo)數(shù)與全微分
一階偏導(dǎo)數(shù) 二階偏導(dǎo)數(shù) 全微分
（4）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
（5）二元函數(shù)的無條件極限
（6）二重積分
二重積分的概念 二重積分的性質(zhì) 直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算
2．要求
（1）了解多元函數(shù)的概念、會(huì)求二元函數(shù)的定義域，了解二元函數(shù)的幾何意義。
（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）理解二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)全微分的求法。
（4）掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
（5）會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值。
（6）理解二重積分的概念，掌握二重積分的性質(zhì)，熟練掌握直角坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算方式。

考試形式及試卷結(jié)構(gòu)
試卷總分：150分
考試時(shí)間：150分鐘
考試方式：閉卷，筆試
試卷內(nèi)容比例：
函數(shù)、極限和連續(xù) 約20%
一元函數(shù)微分學(xué) 約30%
一元函數(shù)積分學(xué) 約30%
多元函數(shù)微積分初步 約20%
試卷題型比例：
選擇題 約15%
填空題 約25%
解答題 約60%
試題難易比例：
容易題 約30%
中等難度題 約50%
較難題 約20%


樣 卷
全國各類成人高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試
專科起點(diǎn)升本科高等數(shù)學(xué)（二）試卷
考生注意：根據(jù)國標(biāo)要求，試卷中正切函數(shù)、余切函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)分別用 表示。
一、 選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)
中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)。
1．設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，則 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函數(shù)中在 處可導(dǎo)的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數(shù) 在 內(nèi)是（ ）
A．單調(diào)增加 B．單調(diào)減少
C．不單調(diào) D．不連續(xù)
4．設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)滿足 且 ，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是（ ）
A．單調(diào)減少且凹的 B．單調(diào)減少且凸的
C．單調(diào)增加且凹的 D．單調(diào)增加且凸的
5．設(shè)函數(shù) ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上。
6． = ．

7．設(shè)函數(shù) ，則 ．
8．設(shè)函數(shù) ，則 ．
9．曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
10．設(shè)函數(shù) 的 ，則 ．
11．若 ，則 ．
12．設(shè) ，則 ．
13．不定積分 ，則 ．
14．若 ，則 ．
15．若積分區(qū)域D是由 圍成的矩形區(qū)域，則
．
三、解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分，解答應(yīng)寫出推理、演算步驟。
16．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

17．（本題滿分6分）
求極限 ．

18．（本題滿分6分）
求極限 ．

19．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，其中 可導(dǎo)，求 ．

20．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，求 ．

21．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) 由方程 確定，試求 ．

22．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

23．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

24．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

25．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，求 ．

26．（本題滿分10分）
求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)，水平與鉛
直漸近線．

27．（本題滿分10分）
設(shè)
（1）交換二次積分次序，
（2）計(jì)算I的值．

28．（本題滿分10分）
已知 ，
證明： ．

參考答案
一、選擇題
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空題
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答題
16．解
．
17．解
．
18．解



19．解 ．
20．解 對等式兩邊取對數(shù)得
，
等式兩邊對 求導(dǎo)得

所以

21．解 等式兩邊對 求導(dǎo)得
，
所以 ．
22．解

23．解 設(shè) ，則 ，
所以


．
24．解


25．解 等式兩邊對 求導(dǎo)得
，
等式兩邊對 求導(dǎo)得
，
所以

26．解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?
，
令 得 ，令 得 ．
列表得

+ 0 － －
－ － 0 +

所以函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間為 ，
函數(shù) 的單調(diào)減少區(qū)間為
為函數(shù)的極大值，
函數(shù)曲線的凸區(qū)間為 ，
函數(shù)曲線的凹區(qū)間為 ，
函數(shù)曲線的拐點(diǎn)為 ，
因?yàn)?，
，
所以 為曲線 的水平漸近線，
為曲線 的鉛直漸近線．
27．解 畫出二重積分的積分區(qū)域D如圖所示：
（1）交換積分次序得

（2）




28．證 將已知等式化簡得：
，
等式兩邊對 求導(dǎo)得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．