高一數(shù)學(xué)：勾股定理的應(yīng)用

 　　方法一：

　　作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.

　　∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

　　即 ∠CBD= 90°

　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.

　　同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.

　　設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則

　　,

　　∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2

　　方法二

　　作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a) ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.

　　分別以CF，AE為邊長(zhǎng)做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直線上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90°，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

　　∵∠ABC= 90°,

　　∴G,B,I,J在同一直線上，

　　所以a^2+b^2=c^2

　　二、勾股數(shù)的相關(guān)介紹

　�、儆^察3，4，5;5，12，13;7，24，25;…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)。計(jì)算0.5(9-1)，0.5(9+1)與0.5(25-1)，0.5(25+1)，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。

　�、诟鶕�(jù)①的規(guī)律，用n的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關(guān)系，并對(duì)其中一種猜想加以說(shuō)明。

　�、劾^續(xù)觀察4，3，5;6，8，10;8，15，17;…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)，運(yùn)用上述類似的探索方法，之間用m的代數(shù)式來(lái)表示它們的股合弦。 　　]在一個(gè)三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。

　　三、勾股定理的命題方向

　　命題1：以已知線段為邊，求作一等邊三角形。

　　命題2：求以已知點(diǎn)為端點(diǎn)，作一線段與已知線段相等。

　　命題3：已知大小兩線段，求在大線段上截取一線段與小線段相等。

　　命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等。

　　命題5：等腰三角形兩底角相等。

　　(責(zé)任編輯：康彥林)

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