09高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容：三角函數(shù)

　三角函數(shù)
　　考試內(nèi)容：
　　角的概念的推廣。弧度制。
　　任意角的三角函數(shù)。單位圓中的三角函數(shù)線。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。
　　兩角和與差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。
　　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。周期函數(shù)。函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象。正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。已知三角函數(shù)值求角。
　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。
　　考試要求：
　　(1)了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。
　　【導(dǎo)讀】近年的高考題中，三角函數(shù)主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，復(fù)習(xí)中注意“三基”的落實(shí)。一般都在選擇題與填空題中考查，多為容易或中等難度的題目。三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關(guān)公式、任意角的三角函數(shù)概念。
　　【試題舉例】
　　α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα等于(　　)
　　A.1/5  B.－1/5  C.5/13  D.－5/13
　　【答案】D
　　【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα＝－1/1+√tana*tana＝－5/13.
　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。
　　【導(dǎo)讀】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是其他公式推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)。對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括。三角公式是三角函數(shù)的心臟，它貫穿于整個(gè)的三角運(yùn)算過(guò)程之中。在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應(yīng)的值。
　　【試題舉例】
　　已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　)
　　A.T＝6，φ＝π/6  B.T＝6，φ＝π/3
　　C.T＝6π，φ＝π/6  D.T＝6π，φ＝π/3
　　【答案】A
　　【解析】依題意2sinφ＝1，結(jié)合|φ ＜π/2可得φ＝π/6，易得T＝6，故選A.
　　(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
　　【導(dǎo)讀】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值類型的高考題型非常豐富，求值與化簡(jiǎn)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意同名三角函數(shù)與同角三角函數(shù)的化歸。不僅要能熟練推證公式(建議自己推證一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應(yīng)用；注意拆角、拼角技巧，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；注意倍角的相對(duì)性，如3α是3a/2的倍角；注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)。注意“1”的靈活代換，如1＝sin2α＋cos2α＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α＝tanα•cotα.應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣。利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明時(shí)，要細(xì)心觀察題目的特征，注意培養(yǎng)觀察、分析問(wèn)題的能力，并注意做題后的總結(jié)，總結(jié)一般規(guī)律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα這三個(gè)式子間的關(guān)系。最后要時(shí)時(shí)注意角的范圍的討論。
　　公式應(yīng)用講究一個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要?jiǎng)?chuàng)造條件應(yīng)用公式，如拆角、拼角技巧等。
　　【試題舉例】
　　“θ＝2π/3”是“tanθ＝2cos(π/2+θ)”的(　　)
　　A.充分而不必要條件  B.必要而不充分條件
　　C.充分必要條件  D.既不充分也不必要條件
　　【答案】A
　　【解析】tanθ＝tan2/3π＝－√3，2cos(π/2+θ)＝2sin(－θ)＝－2sin(2/3π)＝－√3可知充分成立，當(dāng)θ＝0°時(shí)tanθ＝0,2cos(π/2+θ)＝0可知不必要。故選A.
　　(4)能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。
　　【導(dǎo)讀】化簡(jiǎn)要求：
　　(1)能求出值的應(yīng)求出值。
　　(2)使三角函數(shù)種數(shù)盡量少。
　　(3)使項(xiàng)數(shù)盡量少。
　　(4)盡量使分母不含三角函數(shù)。
　　(5)盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。
　　常用方法：
　　(1)直接應(yīng)用公式。
　　(2)切割化弦，異名化同名，異角化同角。
　　(3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函數(shù)式，只需將分子、分母分別乘以2n＋1sinα，應(yīng)用二倍角正弦公式即可。
　　注意事項(xiàng)：
　　(1)公式的熟與準(zhǔn)，要依靠理解內(nèi)涵，明確聯(lián)系應(yīng)用，練習(xí)嘗試，不可機(jī)械記憶。
　　(2)要重視對(duì)遇到的問(wèn)題中角、函數(shù)名及其整體結(jié)構(gòu)的分析，提高公式選擇的恰當(dāng)性，有利于縮短運(yùn)算程序，提高學(xué)習(xí)效率。
　　(3)角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中關(guān)于角的變換問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法之一。
　　【試題舉例】
　　sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
　　A.0　  B.
　　C.√3/2　  D.1
　　【答案】D
　　【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin(15°＋75°)＝1，選D.
　　(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、φ的物理意義。
　　【導(dǎo)讀】三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換是歷屆高考的必考知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)注意應(yīng)用逆向思維的方法去驗(yàn)證所得的結(jié)論。
　　三角函數(shù)圖象是三角函數(shù)考查的重要內(nèi)容，通過(guò)圖象及方程可以用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)一步研究其圖象與性質(zhì)。本節(jié)是圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用的內(nèi)容，命題主要突出數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，并注意三角知識(shí)的載體作用，注意和其他知識(shí)間的關(guān)聯(lián)；判斷y＝－Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合。而求y＝Asin(－ωx＋φ)(－ω＜0)單調(diào)區(qū)間時(shí)，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎�的，再設(shè)法求之。三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)分支，它除了符合函數(shù)的所有關(guān)系和共性外，還有它自身的屬性；求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。
　　注意點(diǎn)：1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開(kāi)圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過(guò)觀察圖象而得到的。　2.作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域。
　　3.對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。
　　4.求定義域時(shí)，若需先把式子化簡(jiǎn)，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。
　　5.解析式的求解中應(yīng)用好圖象，緊扣五點(diǎn)中的第一個(gè)零點(diǎn)，要注意圖象的升降情況，注意數(shù)形結(jié)合的思想。
　　【試題舉例】
　　已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象(　　)
　　A.關(guān)于點(diǎn)(π/3，0)對(duì)稱  B.關(guān)于直線x＝π/4對(duì)稱
　　C.關(guān)于點(diǎn)(π/4，0)對(duì)稱  D.關(guān)于直線x＝π/3對(duì)稱
　　【答案】A
　　【解析】由函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π得ω＝2，由2x＋π/3＝kπ得x＝1/2kπ－π/6，對(duì)稱點(diǎn)為(1/2kπ－π/6，0)(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)為(π/3，0)，選A.
　　(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示。
　　【導(dǎo)讀】解決給式(值)求值問(wèn)題常注意：注意整體思想在解題中的應(yīng)用；①要注意觀察和分析問(wèn)題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把“待求角”用“已知角”表示出來(lái).②要注意條件中角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約作用，確定所涉及的每一個(gè)角的范圍，以免出現(xiàn)增(失)解。
　　根據(jù)條件計(jì)算某個(gè)角的三角函數(shù)值或者求某個(gè)三角式子的值或者求某個(gè)角的大小等，在考試中選擇、填空、解答題均可出現(xiàn)，并且題目大都有一定的技巧性與靈活性。
　　【試題舉例】
　　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝√7，c＝√3，則B＝　　　　.
　　【答案】5π/6
　　【解析】由正弦定理得cosB＝1+3-7/2*1*√3＝－√3/2，所以B＝5π/6.
　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。
　　【導(dǎo)讀】除了正余弦定理外，還應(yīng)掌握三角形中一些其他關(guān)系式在解題中的應(yīng)用。如在△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A＞B⇔a＞b⇔cosA＜cosB.
　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角。多為選擇題或填空題，屬基礎(chǔ)題.(1)利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).(2)利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。
　　【試題舉例】
　　在△ABC中，AB＝√3，A＝45°，C＝75°，則BC等于(　　)
　　A.3－√3  B.√2  C.2  D.3＋√3
　　【答案】A
　　【解析】∵AB＝√3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：
　　a/sinA＝c/sinC，⇒BC/sin45°＝AB/sin75°＝√3/(√6+√2)/4
　　∴BC＝3－√3.

　　(責(zé)任編輯：盧雁明)

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