如何學(xué)好數(shù)學(xué)?

　�。阂�具備不卑不亢的心態(tài)。

　　數(shù)學(xué)并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數(shù)中國學(xué)生比較陌生。要把它當(dāng)作全新的東西來認(rèn)識，就跟學(xué)習(xí)一門新語言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中知識和AP數(shù)學(xué)等，記住概念即可，思維推導(dǎo)不要沿用。然后嚴(yán)格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導(dǎo)和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數(shù)學(xué)天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis(榮譽數(shù)學(xué)分析)的時候，上來進(jìn)度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來可以越學(xué)越快，而且學(xué)生越學(xué)越Hi。拳不離手，曲不離口，學(xué)語言要勤動口和動筆，學(xué)數(shù)學(xué)也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學(xué)好數(shù)學(xué)：20世紀(jì)俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派、莫斯科國立大學(xué)數(shù)學(xué)系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學(xué)，博士申請UWM的經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數(shù)學(xué)和物理,23歲考進(jìn)Princeton，碩轉(zhuǎn)博再同時搞數(shù)學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。我說過了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)其實是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有道理。所以，就算國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)得再爛，只是按照國內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)比較爛，在美國完全有可能前途無量，要有信心。另一方面，國內(nèi)就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實的學(xué)。因為奧賽國際在歐美的精英面前多數(shù)是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數(shù)幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數(shù)幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。這里特別要說一下美國數(shù)學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證明的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，美國的教學(xué)更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數(shù)，內(nèi)容比較簡單，作業(yè)和考試很多中國學(xué)生可以依靠高中基礎(chǔ)秒殺之。但不少人練習(xí)不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數(shù)分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。然后第二段就要細(xì)讀書，多問老師。在美國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能學(xué)好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。

　　第二，保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間。

　　要是天才并且喜歡數(shù)學(xué)，那你自然會給數(shù)學(xué)大量時間。如果是為了將來勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數(shù)學(xué)，要記住大一大二對于打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然后把大塊時間分配給數(shù)學(xué)的看書做題細(xì)琢磨。我目前主要是修各種數(shù)學(xué)課和一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機(jī)動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學(xué)習(xí)。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當(dāng)于最終學(xué)習(xí)10小時。誰說數(shù)學(xué)天才每天悠哉游哉?那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧?他自述道：習(xí)慣帶著數(shù)學(xué)題入夢，醒來往往有思路。故我用的《紅樓夢》回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國學(xué)會會長，敕封爵士)并列20世紀(jì)世界的數(shù)學(xué)家)。數(shù)學(xué)多好算好?別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by“現(xiàn)代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領(lǐng)域下一階段的書要能自通30%。校內(nèi)傳的什么每天學(xué)習(xí)八小時那是給別的學(xué)科的。每天八小時想學(xué)好數(shù)學(xué)?做夢!

　　第三，學(xué)會科學(xué)的思維方法

　　下面分條目詳解：

　　(1)數(shù)學(xué)思維的三個方面：任何數(shù)學(xué)的定義、定理說透了也就三部分：是它本身的文字和(或)符號、公式內(nèi)容;第二是它在數(shù)學(xué)知識體系中的位置，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什么;第三是它所涉及的范疇有什么具體實例(比如循環(huán)群就有旋轉(zhuǎn)圖形、整數(shù)加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數(shù)學(xué)中或數(shù)學(xué)外(典型的如幾何和物理)取得應(yīng)用。這就分別是數(shù)學(xué)對象的本體論、方法論和目的論�？履�高說：“的確學(xué)生對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：1，算法能力，也就是對復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標(biāo)準(zhǔn)方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達(dá)出來，并進(jìn)行思考的能力。3，一步一步進(jìn)行邏輯推理的能力。”這些對應(yīng)的就是掌握數(shù)學(xué)概念的三方面需要什么能力。提高算法能力多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯(lián)系生活實際;邏輯推理這個往往是中國學(xué)生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內(nèi)在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習(xí)。練習(xí)邏輯推理的方法關(guān)鍵在定理的證明，下面會詳述。

　　(2)心理狀態(tài)：很多人開始覺得數(shù)學(xué)難，然后生怕基礎(chǔ)打得不牢，一個定理看半天，看似很認(rèn)真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進(jìn)度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發(fā)不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發(fā)力的彈簧狀，擊球時蹬地轉(zhuǎn)體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防御的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調(diào)動已有知識，并可以多角度觀察新知識，思維能發(fā)散也能迅速收回并集中攻關(guān)。這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當(dāng)文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭理解了要標(biāo)記，第二天要試著不看書回憶。(

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