一、數(shù)字特性

掌握一些最基本的數(shù)字特性規(guī)律，有利于我們迅速的解題。（下列規(guī)律僅限自然數(shù)內(nèi)討論）

（一）奇偶運(yùn)算基本法則

【基礎(chǔ)】奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)；

偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)；

偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)；

奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)。

【推論】

1．任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。

2．任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。

（二）整除判定基本法則

1．能被2、4、8、5、25、125整除的數(shù)的數(shù)字特性

能被2（或5）整除的數(shù)，末一位數(shù)字能被2（或5）整除；

能被4（或 25）整除的數(shù)，末兩位數(shù)字能被4（或 25）整除；

能被8（或125）整除的數(shù)，末三位數(shù)字能被8（或125）整除；

一個(gè)數(shù)被2（或5）除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2（或5）除得的余數(shù)；

一個(gè)數(shù)被4（或 25）除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4（或 25）除得的余數(shù)；

一個(gè)數(shù)被8（或125）除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8（或125）除得的余數(shù)。

2．能被3、9整除的數(shù)的數(shù)字特性

能被3（或9）整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3（或9）整除。

一個(gè)數(shù)被3（或9）除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3（或9）除得的余數(shù)。

3．能被11整除的數(shù)的數(shù)字特性

能被11整除的數(shù)，奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差，能被11整除。

（三）倍數(shù)關(guān)系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互質(zhì)），則a是m的倍數(shù)；b是n的倍數(shù)。

如果x＝mny（m，n互質(zhì)），則x是m的倍數(shù)；y是n的倍數(shù)。

如果a∶b=m∶n（m，n互質(zhì)），則a±b應(yīng)該是m±n的倍數(shù)。

二、乘法與因式分解公式

正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；

逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）

平方差：a^2-b^2=(a-b)(a+b)；

完全平方和/差：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2；

立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方和/差：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3；

等比數(shù)列求和公式：S=a1（1-q^n）/(1-q) (q≠1)；

等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨；丨a丨≤b��-b≤a≤b。

四、某些數(shù)列的前n項(xiàng)和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2；

1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；

1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3

1^3+2^3+3^3+…+n^3==(n+1)^2*n^2/4

1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3