涉及4個(gè)或4個(gè)以上的對(duì)象，已知數(shù)量關(guān)系，不便直接運(yùn)用，與其它知識(shí)相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜和差倍問(wèn)題。

    「典型問(wèn)題」

    1. 四年級(jí)有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問(wèn)這四個(gè)班共有多少人？

    解答：用131+134=265，這是1個(gè)甲、丁和2個(gè)乙、丙的總和，因?yàn)橐�、丙兩班的總�(cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用265-1=264就剛好是3個(gè)乙、丙的和，264÷3=88，就是說(shuō)乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四個(gè)班的和是88+89=177人。

    2. 有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少？

    解答：大家想想，我如果把4個(gè)數(shù)全加起來(lái)是什么？實(shí)際上是每個(gè)數(shù)都加了3遍！大家一定要記住這種思想�。�45+46+49+52）÷3=64就是這四個(gè)數(shù)的和，題目要求最小的數(shù)，我就用64減去52（某三個(gè)數(shù)和最大的）就是最小的數(shù)，等于12.

    3. 在一個(gè)兩位數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)字，就變成一個(gè)三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6，就變成了762.有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的兩位數(shù)。

    解答：對(duì)于這個(gè)題來(lái)說(shuō)，首先要判斷個(gè)位是多少，這個(gè)數(shù)的個(gè)位乘以9以后的個(gè)位還等于原來(lái)的個(gè)位，說(shuō)明個(gè)位只能是0或5！先看0，很快發(fā)現(xiàn)不行，因?yàn)?0×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是幾十乘以9，結(jié)果百位總比十位小，所以各位只能是5.略作計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)：15，25，35，45是滿足要求的數(shù)。

    4.某班買來(lái)單價(jià)為0.5元的練習(xí)本若干，如果將這些練習(xí)本只給女生，平均每人可得15本；如果將這些練習(xí)本只給男生，平均每人可得10本。那么，將這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人應(yīng)付多少錢？

    解答：對(duì)于這種問(wèn)題，如果給一個(gè)學(xué)過(guò)工程問(wèn)題的學(xué)生來(lái)做的話，簡(jiǎn)直太簡(jiǎn)單了，但工程問(wèn)題是六年級(jí)的內(nèi)容，四年級(jí)的學(xué)生怎么辦呢？我們可以這樣考慮：我就假設(shè)班上有2個(gè)女生（動(dòng)動(dòng)腦筋，為什么不假設(shè)成有1個(gè)女生？），那么就一共有30個(gè)練習(xí)本，進(jìn)而推出有3個(gè)男生，用30÷（2+3）=6，說(shuō)明每人應(yīng)該有6個(gè)練習(xí)本，所以每人要付3元錢。

    5. 動(dòng)物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒，那么平均分給三群猴子，每只可得多少粒？

    解答：和上個(gè)題目一樣我想找到1個(gè)數(shù)，它既是12的倍數(shù)，又是15的倍數(shù)，還要是20的倍數(shù)。你能找到嗎？可以找到最小的是60，那么我就假設(shè)共有60粒花生，那么可以算出來(lái)第一群猴子有5個(gè)，第二群猴子有4個(gè)，第三群猴子有3個(gè)，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每個(gè)猴子是5粒。

    6. 一個(gè)整數(shù)，減去它被5除后余數(shù)的4倍是154，那么原來(lái)整數(shù)是多少？

    解答：首先，被除數(shù)除以除數(shù)，余數(shù)肯定小于除數(shù)。所以在這個(gè)題里，余數(shù)肯定不大于4，這就確定了原來(lái)整數(shù)只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一個(gè)，檢驗(yàn)一下，很快得到結(jié)果是154+4×2=162.

    7. 若干名家長(zhǎng)（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知家長(zhǎng)和老師共有22人，家長(zhǎng)比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

    解答：家長(zhǎng)比老師多，所以老師少于22÷2=11人，也就是不超過(guò)10人，家長(zhǎng)就不少于12人。在至少12個(gè)家長(zhǎng)中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。因?yàn)榕�老師比媽媽�?人，所以女老師不少于9人，但老師最多就10個(gè)，并且還至少有1個(gè)男老師，所以老師必須是10個(gè)（9個(gè)女老師，1個(gè)男老師），家長(zhǎng)12個(gè)人中，有7個(gè)媽媽，那么爸爸就有12-7=5人。

    8. 一次數(shù)學(xué)考試共有20道題，規(guī)定：答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)一題扣1分，未答的題不計(jì)分�？荚嚱Y(jié)束后，小明共得23分，他想知道自己做錯(cuò)了幾道題，但只記得未答的題的數(shù)目是個(gè)偶數(shù)。請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下，他答錯(cuò)了多少道題？

    解答：20個(gè)題，如果全部做對(duì)的話，可以得20×2=40分。如果不答1道題的話就要少2分，如果做錯(cuò)一道的話就要少3分。小明得了23分，比總分少40-23=17分。因?yàn)闆](méi)有做的題是偶數(shù)，所以我們可以先想想如果有0道題沒(méi)答的話，17分都是做錯(cuò)了少的，可是17÷3=5…2，不可能！再考慮如果有2道題沒(méi)做的情況，2道題沒(méi)做就少4分，還有17-4=13分是因?yàn)樽鲥e(cuò)了少的，13÷3=4…1，也不可能！考慮4道題沒(méi)做的話，就少了8分，還有17-8=9分是因?yàn)樽鲥e(cuò)了少的，9÷3=3，所以有3道題是做錯(cuò)的。

    9. 某種商品的價(jià)格是：每一個(gè)1分錢，每五個(gè)4分錢，每九個(gè)7分錢，小趙的錢至多能買50個(gè)，小李的錢至多能買500個(gè)。小李的錢比小趙的錢多多少分錢？

    解答：先在腦袋里算一下，是不是九個(gè)7分錢最合算��？先看小趙：50÷9=5…5，所以他有5×7+4=39分錢；再看小李：500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分錢，那么小李就比小趙多389-39=350分錢。千萬(wàn)不要認(rèn)為用（500-50）÷9×7=350就可以了，比如我把500換成400，方法就不對(duì)了！

    10. 某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人。春節(jié)分桔子25箱，每箱不超過(guò)60個(gè)，不少于50個(gè)，桔子總數(shù)的個(gè)位數(shù)字是7.若每人分19個(gè)，則桔子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個(gè)，中班每人比小班每人多分一個(gè)，剛好分完。問(wèn)這時(shí)大班每人分多少桔子？小班有多少人？

    解答：首先桔子的個(gè)數(shù)在1250（=25×50）和1500（=25×60）之間。下面大家?guī)臀铱匆韵聝煞N分桔子的辦法的區(qū)別是多少？（1）大班每人a+1個(gè)，中班每人a個(gè)，小班每人a-1個(gè)；（2）無(wú)論大中小班，每人a個(gè)。在第一種分法中，我讓大班的孩子每人都拿出來(lái)1個(gè)去補(bǔ)給小班的孩子，每人補(bǔ)1個(gè)，因?yàn)榇蟀嗳吮刃“喽?人，所以最后就還多6個(gè)桔子。

    如果我從所有桔子中拿出6個(gè)來(lái)，就可以使得原題中的第一種分法變?yōu)槲业牡诙�種分法。因?yàn)榻圩拥目倲?shù)個(gè)位是7，減去6后的個(gè)位是1，這么多桔子可以分給所有的孩子，并且讓每人一樣多，所以總的人數(shù)和每人所分到的桔子數(shù)都是奇數(shù)��！

    但很明顯每人19個(gè)是不夠的，所以只能是每人17個(gè)，15個(gè)，13個(gè)等等，15個(gè)當(dāng)然不可能了（因?yàn)槿魏螖?shù)乘以15后，各位不是5就是0），下面我們來(lái)看看可不可能是13個(gè)或更少：至少有1250個(gè)桔子，1250÷13=96…2，那么至少有96人，那么大班與小班和起來(lái)就至少96-27=69人。可是小班人最少不會(huì)超過(guò)中班的27人，所以大班小班和起來(lái)不應(yīng)該超過(guò)27+（27+6）=60人，這與我剛才的結(jié)果是矛盾的！所以每人不可能是13個(gè)或者更少，這就說(shuō)明了每人應(yīng)該是17個(gè)蘋果。

    現(xiàn)在總的蘋果數(shù)個(gè)位是7-6=1，每人17個(gè)蘋果，所以總的人數(shù)個(gè)位應(yīng)該是3��！再看：1250÷17=73…9，1500÷17=88…4，這時(shí)就可以找到總?cè)藬?shù)一定是83.因?yàn)槿绻��?3的話，桔子還沒(méi)有分完。所以大班小班共有83-27=56人，用和差問(wèn)題的公式可以很快得到小班人數(shù)是：（56-6）÷2=25人。

    11. 一個(gè)正方體木塊放在桌子上，每一面都有一個(gè)數(shù)，位于對(duì)面兩個(gè)數(shù)的和都等于13，小張能看到頂面和兩個(gè)側(cè)面，看到的三個(gè)數(shù)和為18；小李能看到頂面和另外兩個(gè)側(cè)面，看到的三個(gè)數(shù)的和為24，那么貼著桌子的這一面的數(shù)是多少？

    解答：大家先想想，我如果用18加上24的話，得到是哪幾個(gè)面的和？是4個(gè)側(cè)面和2個(gè)頂面的和！四個(gè)側(cè)面的和應(yīng)該是：13+13=26，這時(shí)就可以計(jì)算出頂面的數(shù)是：（18+24-26）÷2=8，于是底面的數(shù)是：13-8=5.

    12. 左圖是一個(gè)道路圖。A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開(kāi)始的每個(gè)路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個(gè)孩子到過(guò)路口B，問(wèn)：先后共有多少個(gè)孩子到過(guò)路口C？

    解答：自己先嘗試一下假設(shè)A處有1個(gè)孩子，2個(gè)孩子時(shí)有什么問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)后來(lái)就會(huì)出現(xiàn)半個(gè)孩子的情況，這是不行的，所以再假設(shè)有4個(gè)，8個(gè)，16個(gè)孩子，發(fā)現(xiàn)后來(lái)還是會(huì)出現(xiàn)半個(gè)孩子，于是我們就假設(shè)A處有32個(gè)孩子吧�。ㄗ约簞�(dòng)動(dòng)腦筋：為什么是1，2，4，8，16，32這些數(shù)？這些數(shù)有什么規(guī)律嗎？）最后經(jīng)過(guò)計(jì)算能發(fā)現(xiàn)C處有8個(gè)孩子經(jīng)過(guò)，B處有10個(gè)孩子經(jīng)過(guò)。但事實(shí)上B處有60個(gè)孩子經(jīng)過(guò)，所以原來(lái)A處就應(yīng)該是6個(gè)32個(gè)孩子！所以就有8×6=48個(gè)孩子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)。

    13. 比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等�？p制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有白色正六邊形皮子多少塊？

    解答：先算黑皮子共有多少條邊：12×5=60條。這60條邊都是與白皮子縫合在一起的，對(duì)于白皮子來(lái)說(shuō)：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的，那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20，所以共有20塊白皮子。

    14. 5個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來(lái)的空瓶換的，那么他們至少要買汽水多少瓶？

    解答：大致上可以這樣想：先買161瓶汽水，喝完以后用這161個(gè)空瓶還可以換回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把這32瓶汽水退掉，這樣一算，就發(fā)現(xiàn)實(shí)際上只需要買161-32=129瓶汽水。可以檢驗(yàn)一下：先買129瓶，喝完后用其中125個(gè)空瓶（還剩4個(gè)空瓶）去換25瓶汽水，喝完后用25個(gè)空瓶可以換5瓶汽水，再喝完后用5個(gè)空瓶去換1瓶汽水，最后用這個(gè)空瓶和最開(kāi)始剩下的4個(gè)空瓶去再換一瓶汽水，這樣總共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。

    15. 現(xiàn)有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個(gè)數(shù)比第二堆多，第二堆蘋果個(gè)數(shù)比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個(gè)，那么在剩下的蘋果中，第一堆個(gè)數(shù)是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個(gè)，使得第一堆還剩34個(gè)，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍。問(wèn)原來(lái)三堆蘋果數(shù)之和的最大值是多少？

    解答：這種題和第十題一樣，好做但是不好講，關(guān)鍵在于如何能讓四年級(jí)的學(xué)生聽(tīng)明白！

    從第一個(gè)條件開(kāi)始：從每堆蘋果中各取出一個(gè)，在剩下的蘋果中，第一堆個(gè)數(shù)是第二堆的三倍，這時(shí)假設(shè)第二堆是1份蘋果，那么第一堆就是3份蘋果，差2份蘋果。再看第二個(gè)條件：從每堆蘋果中各取出同樣多個(gè)，使得第一堆還剩34個(gè)，第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍，因?yàn)槭菑拿慷烟O果中各取出同樣多個(gè)，所以第二堆還是比第一堆少2份蘋果，所以這個(gè)2份應(yīng)該比34個(gè)要少（大家自己考慮一下為什么不能相等？）所以一份最多就16個(gè)，于是在第二個(gè)條件時(shí)，第二堆還有34-16×2=2個(gè)，第三堆還有2÷2=1個(gè)，所以回到第一個(gè)條件時(shí)，第二堆應(yīng)該是1份16個(gè)蘋果，第三堆少一個(gè)是15個(gè)，第一堆是3份共16×3=48個(gè)蘋果，所以在最開(kāi)始分別有49，17，16個(gè)，總共有49+17+16=82個(gè)。

    2.三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。

    分析：要點(diǎn)：先把一，二小組看成一個(gè)整體！把第三小組看成一個(gè)整體，我們把這種方法叫“化三為二”即把三個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二個(gè)問(wèn)題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù)。這也是一個(gè)和差問(wèn)題。

    解：（180+20）÷2=100（人）——第一，二小組的人數(shù)

    （100-2）÷2=49（人）——第一小組的人數(shù)

    綜合：[（180+20）÷2-2]÷2=49（人）——第一小組的人數(shù)

    答：第一小組的人數(shù)是49人。

    4.在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少？

    分析：這是一個(gè)和倍問(wèn)題。減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120，所以差=120÷8=15.

    解：120÷（1+3+1+2）=15 答：差等于15.

    6.有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女同學(xué)同全部男生握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生只差一個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，以此類推，最后一個(gè)到會(huì)的女生同7個(gè)男生握過(guò)手。問(wèn)這些學(xué)生中有多少名男生？

    分析：這是和差問(wèn)題。我們可以這樣想：如果這個(gè)班再多6個(gè)女生的話，最后一個(gè)女生就應(yīng)該只與1個(gè)男生握手，這時(shí)，男生和女生一樣多了，所以原來(lái)男生比女生多（7-1）6個(gè)人！男生人數(shù)就是：

    解：（50+6）÷2=28（人）。 答：男生人數(shù)是2 8人。

    注：還有一種解法，7+6+5+4+3+2+1=28（人）

    我的分析方法還不能說(shuō)得很清楚。請(qǐng)大家指正。

    8.甲、乙、丙共有100本課外書。甲的本數(shù)除以乙的本數(shù)，丙的本數(shù)除以甲的本數(shù)，商都是5，余數(shù)也都是1.那么乙有多少本書？

    分析：這是和倍問(wèn)題�？炊�題后可以這樣理解，“甲、乙、丙3個(gè)數(shù)是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是幾？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5+1）6.那么100減去（1+6）的差對(duì)應(yīng)（1+5+5×5）倍，這樣可求出乙是多少。

    解：[100-1-（1×5+1）]÷（1+1×5+1×5×5）=91÷31=3（本） 答：乙有3本書。

    10.有貨物108件，分成四堆存放在倉(cāng)庫(kù)時(shí)，第一堆件數(shù)的2倍等于第二堆件數(shù)的一半，比第三堆的件數(shù)少2，比第四堆的件數(shù)多2.問(wèn)每堆各存放多少件？

    分析：如果我們把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就剛好是1+4+2+2=9倍（第三堆和第四堆剛好一個(gè)多2件一個(gè)少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9=12件，第二堆就是12×4=48件，第三堆就是12×2+2=26件，第四堆就是12×2-2=22件。

    解：（108+2-2）÷（1+2×2+2+2）=108÷9=12（件）——第一堆

    12×2×2=48（件）——第二堆； 12×2+2=26（件）——第三堆； 12×2-2=22（件）——第四堆；

    答：每堆各有12件、48件、26件、22件。

    12.用中國(guó)象棋的車，馬，炮分別表示不同的自然數(shù)。如果：車÷馬=2，炮÷車=4，炮-馬=56，那么“車+馬+炮”等于多少？

    分析：這是一個(gè)差倍問(wèn)題。依題有，馬是1倍，車是馬的2倍，炮是車的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（2×4-1）7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是56，根據(jù)差倍問(wèn)題的公式就可分別求出車、馬、炮的值。

    解：56÷（8-1）=8——馬；

    8×2=16——車

    16×4=64——炮

    8+16+64=88——車+馬+炮 答：車、馬、炮的和是88

    14.甲、乙兩位學(xué)生原計(jì)劃每天自學(xué)的時(shí)間相同，若甲每天增加自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，乙每天減少自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，則乙自學(xué)6天的時(shí)間僅相等于甲自學(xué)一天的時(shí)間。問(wèn)：甲、乙原計(jì)劃每天自學(xué)多少分鐘？

    分析：差倍問(wèn)題。原來(lái)時(shí)間相同，現(xiàn)甲多半小時(shí)，乙少半小時(shí)，現(xiàn)在的兩數(shù)差是（30+30）60分鐘，現(xiàn)在的差數(shù)差是（6-1）5倍，這樣可求出現(xiàn)乙每天自學(xué)的時(shí)間，加上30分鐘，可得原計(jì)劃每天自學(xué)時(shí)間。

    解：（30+30）÷（6-1）+30=12+30=42（分鐘） 答：原計(jì)劃每天自學(xué)42分鐘。