891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱（2011版）
　　請考生注意：
　　1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三部分的內(nèi)容。 
　　2、每部分試題滿分50分。
　　常微分方程部分的考試大綱
　　一、基本內(nèi)容與要求
　　(一) 初等積分法
　　1、 熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、全微分方程等的解法.
　　2、 會應(yīng)用降階法解某些高階方程。
　　3、 會建立簡單的微分方程模型。
　　(二) 線性方程和線性方程組
　　1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.
　　2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.
　　3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對方程的解做簡單定性分析.
　　4、 了解二階線性方程的冪級數(shù)解法和Laplace方法。
　　5、 會應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動現(xiàn)象。
　　(三) 基本定理
　　1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理
　　2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。
　�。ㄋ模┓�(wěn)定性與定性理論初步
　　1、掌握定性、穩(wěn)定性與極限環(huán)等基本定義。
　　2、會畫簡單的相圖。
　　3、會分析二階常系數(shù)線性方程組的奇點并畫出相圖。
　　二、參考書目 
　　《常微分方程》東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編（第三版） 高等教育出版社

　　近世代數(shù)部分的考試大綱
　　一、基本內(nèi)容與要求
　　(一)基本概念
　　1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運(yùn)算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個映射是否相同。
　　2、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運(yùn)算表，并判斷給定的運(yùn)算是否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。
　　3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的關(guān)系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射（滿同態(tài)），掌握具有同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的集合之間的聯(lián)系。能夠判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。
　　4、理解關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握等價關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，和熟練判定給定的關(guān)系是否是等價關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定的模的剩余類。
　　(二) 群論
　　1、掌握群的定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關(guān)系，會計算群元素的階。
　　2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握和一個群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。
　　3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。
　　4、熟練掌握變換的符號的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。
　　5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換（輪換）的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。
　　6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。
　　7、掌握陪集的定義，以及與等價關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。
　　8、 了解不變子群（正規(guī)子群）的定義，能掌握一個群的子群是不變子群（正規(guī)子群）的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群（正規(guī)子群）的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群（正規(guī)子群）的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等中。
　　(三) 環(huán)與域
　　1、理解交換環(huán)的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用。掌握消去律與零因子的關(guān)系。
　　2、了解除環(huán)的定義，與能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系。熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)
　　3、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的作用。
　　4、掌握理想的定義，理解理想的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個子環(huán)是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。
　　5、 掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)的定理。理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。
　　6、了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個歐氏環(huán)。
　　二、參考書目
　　1.《近世代數(shù)初步（第二版）》，石生明著，高等教育出版社，2006年版。