在公務(wù)員考試的數(shù)量關(guān)系模塊中，考生經(jīng)常會(huì)遇到余數(shù)相關(guān)的問題，很多考生對(duì)此類題目感覺無從下手，華圖教研中心的老師針對(duì)最常見的幾類題目給予分析，讓余數(shù)問題不再是困擾您的難題。

　　一、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用

　　余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡單，但余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)＜除數(shù))需要引起大家足夠的重視，因?yàn)檫@是某些題目的突破口。

　　余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)(0≤余數(shù)＜除數(shù))

　　余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)

　　【例1】兩個(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少？(    )

　　A.12                   B.41                    C.67                    D.71

　　【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)＜除數(shù))，我們能夠確定除數(shù)＞11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)≥12×商＋余數(shù)=12×5＋11=71，因此被除數(shù)最小為71，選D。

　　【例2】有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是？

　　A.216                       B. 108                         C. 314                        D. 348

　　【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。

　　二、同余問題

　　這類問題在考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。

　　【例3】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示？

　　【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A－1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。

　　結(jié)論：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。

　　【例4】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示？

　　【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么會(huì)有A=4n1+3，A=5n2+2，A=6n3+1。其中，A=4n1+3=4(n1－1)+4+3=4(n1－1)+7，同理，A=5(n2－1)+7，A= 6(n3－1)+7，根據(jù)【例3】的結(jié)論，A= 60n+7。

　　結(jié)論：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。

　　【例5】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)如何表示？

　　【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，如果A除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么會(huì)有A=4n1+1，A=5n2+2，A=6n3+3。其中，A=4n1+1=4(n1+1)－4+3=4(n1+1)－1，同理，A=5(n2+1)－1，A= 6(n3+1)－1，根據(jù)【例3】的結(jié)論，A= 60n－1。

　　結(jié)論：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的差相等，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。

　　根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問題。如：

　　【例6】自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，P除以8的余數(shù)為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個(gè)？

　　A。不存在   

　　B.1個(gè)     C.2個(gè)        D.3個(gè)

　　【解析】幾個(gè)除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的差相同，均為1，根據(jù)【例5】的結(jié)論，P=360n－1，由于100<P<1000，所以n取1、2時(shí)滿足題意，所以，P有2個(gè)，選C。

　　【例7】一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？

　　A.5個(gè)         B. 6個(gè)    C. 7個(gè)    D. 8個(gè)

　　解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，根據(jù)【例4】的結(jié)論，這個(gè)數(shù)可以表示為，P=20n1+7，除以9余7，說明P=9n2+7，再根據(jù)【例3】的結(jié)論，我們得到這個(gè)數(shù)可以表示為180n+7，由于這個(gè)數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個(gè)。

　　綜上所述，考生只需要掌握余數(shù)的基本關(guān)系式和恒等式、熟悉同余問題的解決方法，清楚對(duì)公倍數(shù)(或最小公倍數(shù))的求法，再遇到常見的余數(shù)問題，就能輕松又快速地解決掉。