李委明提示(“差分法”原理)：

　　以例2為例，我們來闡述一下“差分法”到底是怎樣一種原理，先看下圖：

　　上圖顯示了一個簡單的過程：將Ⅱ號溶液倒入Ⅰ號溶液當(dāng)中，變成Ⅲ號溶液。其中Ⅰ號溶液的濃度為“小分數(shù)”，Ⅲ號溶液的濃度為“大分數(shù)”，而Ⅱ號溶液的濃度為“差分數(shù)”。顯然，要比較Ⅰ號溶液與Ⅲ號溶液的濃度哪個大，只需要知道這個倒入的過程是“稀釋”還是“變濃”了，所以只需要比較Ⅱ號溶液與Ⅰ號溶液的濃度哪個大即可。

　　【例3】比較29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小

　　【解析】運用“差分法”來比較這兩個分數(shù)的大小關(guān)系：

　　29320.04/4126.37 29318.59/4125.16

　　1.45/1.21

　　根據(jù)：很明顯，差分數(shù)=1.45/1.21<2<29318.59/4125.16=小分數(shù)

　　因此：大分數(shù)=29320.04/4126.37<29318.59/4125.16=小分數(shù)

　　[注釋] 本題比較差分數(shù)和小分數(shù)大小時，還可以采用“直除法”(本質(zhì)上與插一個“2”是等價的)。

　　【例4】下表顯示了三個省份的省會城市(分別為A、B、C城)2006年GDP及其增長情況，請根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)回答：

　　1.B、C兩城2005年GDP哪個更高?

　　2.A、C兩城所在的省份2006年GDP量哪個更高?

　　GDP(億元) GDP增長率 占全省的比例

　　A城 873.2 12.50% 23.9%

　　B城 984.3 7.8% 35.9%

　　C城 1093.4 17.9% 31.2%

　　【解析】一、B、C兩城2005年的GDP分別為：984.3/1+7.8%、1093.4/1+17.9%;觀察特征(分子與分母都相差一點點)我們使用“差分法”：

　　984.3/1+7.8% 1093.4/1+17.9%

　　109.1/10.1%

　　運用直除法，很明顯：差分數(shù)=109.1/10.1%>1000>984.3/1+7.8%=小分數(shù)，故大分數(shù)>小分數(shù)

　　所以B、C兩城2005年GDP量C城更高。

　　二、A、C兩城所在的省份2006年GDP量分別為：873.2/23.9%、1093.4/31.2%;同樣我們使用“差分法”進行比較：

　　873.2/23.9% 1093.4/31.2%

　　220.2/7.3%=660.6/21.9%

　　212.6/2%=2126/20%

　　上述過程我們運用了兩次“差分法”，很明顯：2126/20%>660.6/21.9%，所以873.2/23.9%>1093.4/31.2%;

　　因此2006年A城所在的省份GDP量更高。

　　【例5】比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小

　　【解析】32053.3與32048.2很相近，23487.1與23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法進行比較的時候，誤差可能會比較大，因此我們可以考慮先變形，再使用“差分法”，即要比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我們首先比較32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小關(guān)系：

　　32053.3/23489.1 32048.2/23487.1

　　5.1/2

　　根據(jù)：差分數(shù)=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分數(shù)

　　因此：大分數(shù)=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分數(shù)

　　變型：32053.3×23487.1>32048.2×23489.1

　　李委明提示(乘法型“差分法”)：

　　要比較a×b與a′×b′的大小，如果a與a'相差很小，并且b與b'相差也很小，這時候可以將乘法a×b與a′×b′的比較轉(zhuǎn)化為除法ab′與a′b的比較，這時候便可以運用“差分法”來解決我們類似的乘法型問題。我們在“化除為乘”的時候，遵循以下原則可以保證不等號方向的不變：

　　“化除為乘”原則：相乘即交叉。

　　直除法”是指在比較或者計算較復(fù)雜分數(shù)時，通過“直接相除”的方式得到商的首位(首一位或首兩位)，從而得出正確答案的速算方式。“直除法”在資料分析的速算當(dāng)中有非常廣泛的用途，并且由于其“方式簡單”而具有“極易操作”性。