高一數(shù)學(xué)均方差(標準差)公式

 　　標準差(Standard Deviation)，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度(statistical dispersion)上的測量。標準差定義是總體各單位標志值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)：

　　為非負數(shù)值， 與測量資料具有相同單位。一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數(shù)的標準差之間，有所差別。

　　標準計算公式

　　假設(shè)有一組數(shù)值X1,X2,X3,......XN(皆為實數(shù))，其平均值為μ，公式如圖1.

　　圖1

　　標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差，公式如圖2。

　　圖2

　　簡單來說，標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標準差，代表大部分數(shù)值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。

　　例如，兩組數(shù)的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

　　標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(同時與標準差數(shù)值做比較)，則認為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。

　　標準差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大，代表回報遠離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標準差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。

　　例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為17.078分，B組的標準差為2.16分(此數(shù)據(jù)是在R統(tǒng)計軟件中運行獲得)，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。

　　如是總體，標準差公式根號內(nèi)除以n

　　如是樣本，標準差公式根號內(nèi)除以(n-1)

　　因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以(n-1)

　　公式意義

　　所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)(或個數(shù)減一，即變異數(shù))，再把所得值開根號，所得之數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的標準差。

　　深藍區(qū)域是距平均值小于一個標準差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值之 68%。根據(jù)正態(tài)分布，兩個標準差之內(nèi)(深藍，藍)的比率合起來為 95%。根據(jù)正態(tài)分布，三個標準差之內(nèi)(深藍，藍，淺藍)的比率合起來為 99%。

　　(責任編輯：張新革)

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