高一數(shù)學(xué)協(xié)方差公式

 　　兩個(gè)不同參數(shù)之間的方差就是協(xié)方差 若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述數(shù)學(xué)期望不為零，則X和Y必不是相互獨(dú)立的，亦即它們之間存在著一定的關(guān)系。

　　定義

　　E[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

　　協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：

　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)

　　D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)

　　協(xié)方差與期望值有如下關(guān)系：

　　COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

　　協(xié)方差的性質(zhì)：

　　(1)COV(X，Y)=COV(Y，X);

　　(2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，(a，b是常數(shù));

　　(3)COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。

　　由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。

　　協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念：

　　定義

　　ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。

　　定義

　　若ρXY=0，則稱(chēng)X與Y不相關(guān)。

　　即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價(jià)的。

　　定理

　　設(shè)ρXY是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，則有

　　(1)∣ρXY∣≤1;

　　(2)∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，(a，b為常數(shù)，a≠0)

　　定義

　　設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，則稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)k階矩。

　　若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，則稱(chēng)它為X的k階中心矩。

　　若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩。

　　若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合中心矩。

　　顯然，X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點(diǎn)矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協(xié)方差COV(X，Y)是X和Y的二階混合中心矩。

　　(責(zé)任編輯：張新革)

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