中科院研究生院碩士研究生入學(xué)考試《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試大綱

　　本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試大綱適用于中國科學(xué)院研究生院非數(shù)學(xué)類的碩士研究生入學(xué)考試。概率統(tǒng)計是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在物理、化學(xué)、生物、計算機(jī)科學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。考試的主要內(nèi)容有以下幾個部分：
　　概率統(tǒng)計中的基本概念、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征及特征函數(shù)、獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理及大數(shù)定律、假設(shè)檢驗、點估計及區(qū)間估計、簡單線性回歸模型。要求考生對基本概念有深入的理解，能計算一些常見分布的期望、方差，了解假設(shè)檢驗、點估計及區(qū)間估計的統(tǒng)計意義，能解決一些經(jīng)典模型的檢驗問題、區(qū)間估計及點估計。比較后，能理解大數(shù)定律及中心極限定理。
　　一、 考試內(nèi)容
　　（一） 基本概念
　　1． 樣本、樣本觀測值
　　2． 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法：如干葉法、直方圖
　　3． 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字描述：樣本均值、樣本方差、中位數(shù)事件的獨(dú)立性、樣本空間、事件
　　4． 概率、條件概率、Bayes公式
　　5． 古典概型
　�。ǘ�） 離散隨機(jī)變量
　　1． 離散隨機(jī)變量的定義
　　2． 經(jīng)典的離散隨機(jī)變量的分布
　　a. 二項分布
　　b. 幾何分布
　　c. 泊松分布
　　d. 超幾何分布
　　3． 離散隨機(jī)變量的期望、公差
　　4． 離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)
　　5． 離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
　　6． 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及二個離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)
　�。ㄈ�） 連續(xù)隨機(jī)變量
　　1． 連續(xù)隨機(jī)變量的概念
　　2． 密度函數(shù)
　　3． 分布函數(shù)
　　4． 常見的連續(xù)分布
　　a. 正態(tài)分布
　　b. 指數(shù)分布
　　c. 均勻分布
　　d. t分布
　　e. 2分布
　　5． 連續(xù)隨機(jī)變量的期望、方差
　　6． 連續(xù)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義
　　7． 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)
　　8． 連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)
　�。ㄋ模� 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
　　1． 依概率收斂
　　2． 以概率1收斂（或幾乎處處收斂）
　　3． 依分布收斂
　　4． 伯努利大數(shù)定律
　　5． 利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
　　6． 辛欽大數(shù)定律
　　7． 萊維-林德伯格中心極限定理
　�。ㄎ澹� 點估計
　　1． 無偏估計，克拉美-勞不等式
　　2． 矩估計
　　3． 極大似然估計
　�。�六） 區(qū)間估計
　　1． 置信區(qū)間的概念
　　2． 一個正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間
　　3． 大樣本區(qū)間估計
　　4． 兩個正態(tài)總體期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
　�。ㄆ撸� 假設(shè)檢驗
　　1． 檢驗問題的基本要素：第一類錯誤的概率、第二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、原假設(shè)、備擇假設(shè)
　　2． 一個正態(tài)總體的期望的檢驗問題
　　3． 大樣本檢驗
　　4． 基于成對數(shù)據(jù)的檢驗（t檢驗）
　　5． 兩個正態(tài)總體期望之差的檢驗
　�。ò耍� 簡單線性回歸模型
　　1． 簡單線性回歸模型定義
　　2． 回歸線的斜率的比較小二乘估計
　　3． 回歸線的截距的比較小二乘估計
　　4． 隨機(jī)誤差（隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差）的估計
　　二、 考試要求
　　（一） 基本概念
　　1． 理解樣本、樣本觀測值的概念
　　2． 了解并能運(yùn)用統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法如：干葉法、直方圖
　　3． 理解樣本均值、樣本方差及中位數(shù)的概念并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計算
　　4． 掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨(dú)立性、條件概率，理解并能靈活運(yùn)用Bayes 公式
　　5． 理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問題
　　（二） 離散隨機(jī)變量
　　1． 理解離散隨機(jī)變量的定義
　　2． 理解如下經(jīng)典離散分布所產(chǎn)生的模型
　　a. 二項分布
　　b. 幾何分布
　　c. 泊松分布
　　d. 超幾何分布
　　能熟練計算上述分布的期望、方差，能熟練應(yīng)用上述分布求出相應(yīng)事件的概率
　　3． 了解離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義和性質(zhì)
　　4． 了解兩個離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
　　5． 理解二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及兩個離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的概念并能熟練運(yùn)用相關(guān)的公式解決問題
　�。ㄈ�） 連續(xù)隨機(jī)變量
　　1． 理解連續(xù)隨機(jī)變量的概念
　　2． 理解密度與分布的概念及其關(guān)系
　　3． 熟悉如下常用連續(xù)分布
　　a. 正態(tài)分布
　　b. 指數(shù)分布
　　c. 均勻分布
　　d. t分布
　　e. 2分布
　　4． 了解連續(xù)分布的期望、方差的概念
　　5． 了解有限個連續(xù)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
　　6． 理解二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計算
　　7． 了解連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)的概念及性質(zhì)
　�。ㄋ模� 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
　　1． 了解依概率收斂、以概率1收斂（或幾乎處處收斂）、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關(guān)系
　　2． 理解并掌握伯努利大數(shù)定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
　　3． 了解辛欽大數(shù)定律、萊維-林德伯格中心極限定理
　�。ㄎ澹� 點估計
　　1． 理解無偏估計、矩估計、極大似然估計
　　2． 能夠計算參數(shù)的矩估計、極大似然估計
　�。�六） 區(qū)間估計
　　1． 理解置信區(qū)間的概念
　　2． 能夠計算正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間（包括方差已知、方差未知兩種情況）
　　3． 在樣本容量充分大的條件下，能夠計算近似置信區(qū)間
　　4． 能夠計算兩個正態(tài)總體的期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
　　（七） 假設(shè)檢驗
　　1． 理解以下概念：第一、二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設(shè)、備擇假設(shè)
　　2． 能給出一個正態(tài)總體的期望的檢驗的拒絕域（包括方差已知、方差未知）
　　3． 能用大樣本方法求拒絕域
　　4． 能給出基于成對數(shù)據(jù)的檢驗問題的拒絕域
　　（八） 簡單線性回歸模型
　　1． 理解簡單線性回歸模型定義，能寫出模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式
　　2． 能計算回歸線的斜率、截距的比較小二乘估計
　　3． 了解隨機(jī)誤差（隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差）的估計
　　三、 參考書
　　1． 陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社，中國科技大學(xué)出版社， 1999
　　2． 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社（第三版），2001
　　3． 劉光祖，概率論與應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社，2000