福州大學 2011年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

　　一、考試科目名稱:《數(shù)學分析》
　　二、招生學院和專業(yè)：數(shù)學與計算機學院
　　基本內容(可續(xù)頁):
　　1、集合與映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合運算的交換率、結合率、分配率，笛卡兒乘積，映射、滿射、單射、雙射、逆映射，像與逆像，映射的復合，映射的限制與延拓，一元函數(shù)，函數(shù)的四則運算與復合，函數(shù)的圖象，初等函數(shù)，函數(shù)的單調性、有界性、周期性與凸性。
　　2、極限與連續(xù)：數(shù)列極限的ξ-N定義，數(shù)列極限的唯一性，收斂數(shù)列的有界性，極限與四則運算，極限與不等式，單調有界原理，數(shù)e，無窮小量與無窮大量，函數(shù)極限的ξ-N定義，與數(shù)列極限性質相平行的函數(shù)極限的性質，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系，單側極限與無窮遠處的極限，復合函數(shù)的極限，兩個重要的極限，無窮小量與無窮大量的階，函數(shù)的連續(xù)與間斷，單側連續(xù)，函數(shù)連續(xù)的局部性質，連續(xù)函數(shù)的四則運算，反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性。間斷點的分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)連續(xù)的整體性質。
　　3、導數(shù)與微分：導數(shù)及其幾何意義，導數(shù)的四則運算，反函數(shù)與復合函數(shù)的求導，參數(shù)方程所表示的函數(shù)與隱函數(shù)的求導，基本初等函數(shù)的導數(shù)，可導與連續(xù)的關系，單側導數(shù)，高階導數(shù)，Leibniz公式。線性函數(shù)與微分，微分與導數(shù)的關系，微分的四則運算，反函數(shù)與復合函數(shù)的微分，一階微分形式的不變性，高階微分。
　　4.微分學基本定理及其應用：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。Taylor公式，Taylor公式的Peano余項及Lagrange余項。某些初等函數(shù)的Taylor展開式。微分學應用：待定型的定值法，函數(shù)的升降，極值，比較值，凸性，拐點的判定，漸近線，函數(shù)的作圖，曲率，曲率半徑，曲率圓。
　　5.不定積分：原函數(shù)與不定積分，基本積分公式，運算法則。不定積分的換元法與分部積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，某些可有理化的函數(shù)的積分。
　　6.黎曼積分：R-積分，達布上、下和與上、下積分，R-可積的充要條件，R-可積與函數(shù)運算，重要的可積函數(shù)類，R-積分的線性性、可加性與正性，第一積分中值定理，變動上限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性與可微性。黎曼積分的計算：N-L公式，換元法與分步積分法，R-積分的近似計算。定積分的元素法與應用：面積、體積、弧長、旋轉面的面積、重心、壓力、功。
　　7．實數(shù)理論與連續(xù)函數(shù)的整體性質：上、下確界，確界原理，單調有界原理，閉區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，實數(shù)系的公理體系。有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，比較值定理，介值定理。反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。
　　8.數(shù)項級數(shù)：數(shù)列的上、下極限，部分和極限。數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散，級數(shù)收斂的必要條件，收斂級數(shù)的線性運算與結合率，柯西收斂原理。單調有界原理，正項級數(shù)審斂法：比較判別法，柯西根值法，達郎貝爾比值法，積分判別法，拉伯判別法。任意項級數(shù)審斂法：萊布尼茲判別法，阿貝爾變換與阿貝爾判別法，狄里克萊判別法。絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù).
　　9.廣義黎曼積分：兩類廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分與級數(shù)，積分第二中值定理，比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法，狄里克萊判別法，積分主值。
　　10.函數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)的一致收斂，一致收斂的柯西收斂原理，M-判別法，狄里克萊判別法，狄尼定理，一致收斂級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性，逐項求導與逐項求積。冪級數(shù)的收斂半徑，柯西-阿達瑪定理，阿貝爾第一、第二定理，冪級數(shù)的和函數(shù)的性質，函數(shù)的冪級數(shù)展開。Weierstrass定理。
　　11.Fourier級數(shù)與Fourier變換：正交函數(shù)系，三角函數(shù)系的正交性，F(xiàn)ourier系數(shù)，F(xiàn)ourier級數(shù)。Dirichlet積分，Riemann引理，局部化定理，Dini判別法，Dirichlet--Jordan判別法，函數(shù)的Fourier級數(shù)展開，F(xiàn)ourier級數(shù)的逐項求導與逐項求積，
　　12.多元函數(shù)極限論：歐氏空間中的拓撲性質：范數(shù)，鄰域，開集，閉集，開核，閉包，有界集，緊集，連通集，區(qū)域，聚點，點列的極限，柯西收斂原理，交集定理，致密性定理，有限覆蓋定理，多元函數(shù)的極限與累次極限，函數(shù)的連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。
　　13.多元微分學：偏導數(shù)及其幾何意義，線性函數(shù)與全微分，連續(xù)可微、可偏導之間的關系，鏈式法則，高階偏導的次序交換定理，隱函數(shù)的偏導計算，高階全微分，一階微分形式的不變性。方向導數(shù)與梯度的定義與計算，梯度。Taylor公式。
　　14.向量值函數(shù)：向量值函數(shù)的極限與連續(xù)，向量值函數(shù)的偏導數(shù)和方向導數(shù)，線性映射與全微分，坐標函數(shù)，鏈式法則，Jacobi陣。
　　15.隱函數(shù)：隱函數(shù)定理，函數(shù)行列式的性質，函數(shù)相關。
　　16.多元微分學的應用：曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，極值與條件極值，Lagrange乘數(shù)法。
　　17.含參變量積分：含參量常義積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性，求導與積分,積分與積分的次序交換。含參變量廣義積分的一直收斂及其判別法，含參量廣義積分所定義的函數(shù)的性質，尤拉積分，伽馬函數(shù)與B函數(shù)。
　　18.多重黎曼積分：重積分定義與性質，達布上、下和與上、下積分，可積的充要條件，可積函數(shù)類。重積分的計算：化重積分為累次積分，重積分的換元法，極坐標，柱坐標，球坐標。重積分的應用：曲面面積，重心，轉動慣量，引力。廣義重積分。
　　19.曲線積分與曲面積分：定向曲線，定向曲面，兩類曲線積分與兩類曲面積分的定義，性質，計算及應用。
　　20.向量分析初步：Green公式，Gauss公式，Stokes公式，曲線積分與路徑無關的條件，場的三度，保守場與管量場。
　　參考書目(須與專業(yè)目錄一致)(包括作者、書目、出版社、出版時間、版次)：
　　教材：
　　《數(shù)學分析》復旦大學數(shù)學系，高等教育出版社
　　教學參考書：
　　《數(shù)學分析簡明教程》中山大學數(shù)學系，高等教育出版社
　　《數(shù)學分析》華東師大數(shù)學系編，高等教育出版社。
　　說明：1、考試基本內容：一般包括基礎理論、實際知識、綜合分析和論證等幾個方面的內容。有些課程還應有基本運算和實驗方法等方面的內容。
　　2、難易程度：根據大學本科的教學大綱和本學科、專業(yè)的基本要求，一般應使大學本科畢業(yè)生中優(yōu)秀學生在規(guī)定的三個小時內答完全部考題，略有一些時間進行檢查和思考。
　　3、考試題型：可分填空題、選擇題、計算題、簡答題、論述題等。