考研數(shù)學(xué)中求極限的題目是每年必考的，而利用等價(jià)無(wú)窮小求極限是比較重要的方法，熟練使用等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)于快速正確求解極限題目必不可少。

　　使用等價(jià)無(wú)窮小首先必須注意所求極限是否為不定型，然后再確定求極限的函數(shù)分子分母是否在同一趨勢(shì)下均為無(wú)窮小，是否可化為分子分母均為無(wú)窮小的形式。例如求當(dāng)x趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù)sin x/x的極限。sin x當(dāng)x趨于0時(shí)為無(wú)窮小，但當(dāng)x趨于無(wú)窮時(shí)極限不存在，前者是通常會(huì)遇到的情況，而后者較少出現(xiàn)(當(dāng)然，近來(lái)出現(xiàn)頻率漸有增加)。對(duì)此題目，若不細(xì)心，根據(jù)習(xí)慣使用當(dāng)x趨于0時(shí)sin x的等價(jià)無(wú)窮小x進(jìn)行替換求極限便大錯(cuò)特錯(cuò)了!此題目中的函數(shù)極限并非不定型，而須根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限，即無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小量。

　　其次，在計(jì)算極限時(shí)，若表達(dá)式中分子或分母是幾項(xiàng)相乘或相除，其中某項(xiàng)極限存在且不為零，可以先將其計(jì)算出來(lái)。但加減法不適用。這是便于計(jì)算極限時(shí)隨時(shí)簡(jiǎn)化函數(shù)形式，免得在一遍遍謄寫(xiě)過(guò)程中出錯(cuò)。

　　再者，計(jì)算不定型極限時(shí)，若函數(shù)表達(dá)式中分子或分母是幾項(xiàng)相乘的形式，可以使用等價(jià)無(wú)窮小替換。這就需要考生記住一些常用等價(jià)無(wú)窮小的形式。

　　一般情況下，加減法不能使用等價(jià)替換，但若達(dá)到精確度時(shí)，也可以使用等價(jià)無(wú)窮小替換(這一點(diǎn)在2013無(wú)師自通《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》中有更清晰地描述)。例如limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2，因?yàn)榉帜甘嵌�階無(wú)窮小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，從而limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= limx→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。

　　又如limx→0[x-sinx]/x3，因?yàn)榉帜笧槿�階無(wú)窮小，若用sinx～x，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，事實(shí)上limx→0[x-sinx]/x3= limx→0[1-cosx]/3x2=1/6。

　　等價(jià)無(wú)窮小替換在求函數(shù)極限中有重要作用，在使用任何方法的過(guò)程中都可使用等價(jià)無(wú)窮小替換將形式繁瑣的函數(shù)簡(jiǎn)化，再進(jìn)一步計(jì)算。特別是利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，有的函數(shù)若不進(jìn)行化簡(jiǎn)，求導(dǎo)后形式繁雜，會(huì)增加計(jì)算難度。

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    備考：♦2013年考研時(shí)間表 ♦政治 英語(yǔ) 數(shù)學(xué) 專(zhuān)業(yè)課 ♦歷年考研真題

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