2017考研數(shù)學(xué)高頻題型歸納(1)

　　一、多元積分(數(shù)一)

　　多元積分是數(shù)一的必考題型，平均每年一道大題，一道小題。該部分內(nèi)容包括三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要考計算。

　　在基礎(chǔ)階段，考生需分清這幾種積分和幾大公式，重點把握計算方法。

　　三重積分看成二重積分的推廣，計算方法是化成三次定積分(或一次定積分和一次二重積分)。具體的計算方法有三種：“先一后二”、“先二后一”和球坐標(biāo)。

　　第一類曲線積分計算方法可概括為“帶入、定限”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲線積分計算方法也可概括為“帶入、定限”，不過定限時不同于第一類曲線積分的“從小到大”，而是“從起點到終點”。當(dāng)然，此種類型積分的更重要的計算方法是利用格林公式。從考試的角度，此部分的重點在于格林公式、與此有關(guān)的積分與路徑無關(guān)和二元函數(shù)的全微分。

　　第一類曲面積分計算方法可概括為“帶入、投影”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲面積分計算方法也可概括為“帶入、投影”，不過投影時須考慮方向。從考試的角度，此部分的重點在于高斯公式。

　　斯托克斯公式本身形式較復(fù)雜，考試要求不高：記清基本公式，弄清何時用即可。計算第二類曲線積分，積分曲線不易參數(shù)化時，考慮此公式。

　　二、二重積分

　　二重積分幾乎是數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)一同學(xué)學(xué)習(xí)多元積分的基礎(chǔ)。二重積分比較關(guān)鍵的是計算步驟。拿到一個二重積分，第一步應(yīng)檢驗奇偶對稱性。有同學(xué)可能由于想不到或急于求成，未用對稱性化簡，結(jié)果徒增運算量，增大出錯的概率。第二步應(yīng)選擇坐標(biāo)系。只需搞清何時選擇極坐標(biāo)系，其余情況選擇直角坐標(biāo)系既可。二重積分有兩個要素——積分區(qū)域和被積函數(shù)，所以計算過程中涉及到選擇的時候要一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。積分區(qū)域若為圓域或部分圓域，或者區(qū)域的邊界的極坐標(biāo)方程較直角坐標(biāo)方程簡單，則選極坐標(biāo)系，若被積函數(shù)為“f(x^2+ y^2)”的形式，也選極坐標(biāo)系。

　　若選擇了極坐標(biāo)系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對r積分后對角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現(xiàn)過。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：從原點出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點，這兩個交點的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉(zhuǎn)，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。

　　若選擇了直角坐標(biāo)系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當(dāng)然是一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。看積分區(qū)域的原則是避免分類討論，看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后，就進入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標(biāo)軸的直線，穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應(yīng)著第二次積分的積分上下限。

　　三、多元極值

　　多元極值問題分成兩個子問題：無條件極值和條件極值。

　　1. 無條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)的極值(或比較值)。處理思路為利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件。通過必要條件找出可能的極值點(駐點和不可導(dǎo)點)，利用充分條件一一判斷。這部分考點及處理方式可以看成一元函數(shù)極值問題的考點及處理方式的自然推廣。

　　2. 條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)在約束條件g(x，y)=0下的極值(或比較值)。處理思路為拉格朗日乘數(shù)法。