一、 利用“巧算法”

　　1.湊整法

　　湊整法一般包括以下三種：

　　加/減湊整法，通過交換運(yùn)算次序，把可以通過加/減得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算的方法。

　　乘/除湊整法，通過交換運(yùn)算次序，把可以通過乘/除法得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算的方法。

　　參照湊整法，將一個數(shù)看成與之接近的另外一個較整的數(shù)來計算，然后進(jìn)行修正的方法。

　　湊整法不僅僅是一種“運(yùn)算方法”，更重要的是一種“運(yùn)算思想”，需要考生靈活應(yīng)用并學(xué)會拓展。

　　例題.(2003年黑龍江省第13題)

　　求4.18＋1.72＋0.82＋0.28的值。(　　)

　　A.7  B.8

　　C.9   D.10

　　【解析】這是道小數(shù)湊整題，原式＝(4.18＋0.82)＋(1.72＋0.28)，可先將4.18＋0.82＝5與1.72＋0.28＝2心算出來，然后再將5＋2＝7心算出來。故選A。

　　例題.(2003年廣東省第10題)

　　求1999＋199＋19的值。(　　)

　　A.2 220  B.2 218

　　C.2 217  D.2 216

　　【解析】這是道整數(shù)湊整題�？蓪⒏黜椉�1，使算式變成2 000＋200＋20＝2 220，再減去3后得到正確答案，即2 220－3＝2 217。故選C。

　　2.觀察尾數(shù)法

　　觀察尾數(shù)法是解答算式選擇題的一個重要方法，即當(dāng)四個答案的尾數(shù)都不相同時，可采用觀察尾數(shù)法，最后選擇出正確答案。自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化情況如下：

　　2n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，即21,25,29…24n＋1的尾數(shù)都是相同的

　　3n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為3,9,7,1，…

　　4n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為4,6，…

　　5n和6n的尾數(shù)不變

　　7n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為7,9,3,1，…

　　8n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為8,4,2,6，…

　　9n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為9,1，…

　　例題.(2007年浙江省第11題)

　　12007＋32007＋52007＋72007＋92007的值的個位數(shù)是(　　)。

　　A.5  B.6

　　C.8  D.9

　　【解析】此題采用尾數(shù)法。12007尾數(shù)為1,32007的尾數(shù)與33相同為7,52007尾數(shù)為5,72007尾數(shù)與73相同為3,92007尾數(shù)與93相同為9,1＋7＋5＋3＋9＝25，即個位數(shù)為5。故選A。

　　例題.(2006年浙江省第31題)

　　92006的個位數(shù)是(　　)。

　　A.1  B.2

　　C.8  D.9

　　【解析】此題采用尾數(shù)法�？疾�9的次冪變化周期規(guī)律，這些知識要記憶。9的奇數(shù)次方尾數(shù)為9，偶數(shù)次方尾數(shù)為1。故選A。

　　例題.(2005年中央(一類)第38題)

　　19991998的末位數(shù)字是(　　)。

　　A.1  B.3

　　C.7  D.9

　　【解析】這是一道比較復(fù)雜的觀察尾數(shù)題。此題只需求91998的末位數(shù)字即可。9的奇數(shù)次方的末位數(shù)為9,9的偶數(shù)次方的末位數(shù)為1，正確答案是1。故選A。

　　3.合并與去掉相同項法

　　例題.(2006年福建省第31題)

　　求19 961 997×19 971 996－19 961 996×19 971 997的值。(　　)

　　A.100  B.10 000

　　C.0   D.1

　　【解析】該題變式后也用去掉相同項法計算。先將題干有關(guān)項尾數(shù)7變成6＋1，再將算式展開，即(19 961 996＋1)×19 971 996－19 961 996×(19 971 996＋1)＝19 961 996×19 971 996＋19 971 996－19 961 996×19 971 996－19 961 996，將各項中的19 961 996×19 971 996抵消之后，剩下之?dāng)?shù)為19 971 996－19 961 996＝10 000。故選B。

　　二、 利用公式法

　　常見的數(shù)學(xué)公式有：

　　第一類：乘法與因式分解

　　a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

　　(a－b)2＝a2－2ab＋b2；

　　a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；

　　a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；

　　＝－

　　第二類：求和

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；

　　2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋…＋2n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；

　　1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋…＋(2n－1)＝n2(n為自然數(shù))；

　　12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋…＋n2＝(n為自然數(shù))；

　　13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝(n為自然數(shù))；

　　1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋…＋n(n＋1)＝(n為自然數(shù))；

　　等差數(shù)列求和公式：Sn＝na1＋×d＝(n為自然數(shù))；

　　等比數(shù)列求和公式：Sn＝na1(q＝1)(n為自然數(shù))；

　　Sn＝(q≠1，an≠0)(n為自然數(shù))。

　　例題.(2007年福建省第31題)

　　12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝(　　)。

　　A.－55  B.－45

　　C.45  D.55

　　【解析】本題考查平方差公式的運(yùn)用。原式＝(1＋2)(1－2)＋(3＋4)(3－4)＋……＋(9＋10)(9－10)＝－(3＋7＋11…＋19)＝－＝－55。故選A。

　　三、因式分解法

　　因式分解是進(jìn)行復(fù)雜四則運(yùn)算的基本方法，而公因數(shù)的選擇問題則是因式分解的關(guān)鍵。因式分解法以數(shù)字構(gòu)造具有一定規(guī)律和特點(diǎn)為基礎(chǔ)(即數(shù)字可以變換成因式相乘的形式)，在進(jìn)行“大數(shù)”的四則運(yùn)算時要有“因式分解的意識”。

　　例題.(2005年中央(二類)第36題)

　　2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.4×47－2.3)的值為(　　)。

　　A.2 003  B.2 004

　　C.2 005  D.2 006

　　【解析】此題考查對數(shù)字敏感度。利用因式分解原式可變形為原式＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋4.7－2.3)＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋2.4)＝2 004。故選B。

　　四、代換與拆項

　　拆項法的一般常用公式：①拆項相減法公式：＝－；②拆項相加法公式：＝＋。

　　例題.(2006年浙江省第32題)

　　＋＋＋＋＋＋＋的值是(　　)。

　　A.  B.

　　C.  D.

　　【解析】本題可利用拆項法解答。原式＝×(1－＋－＋－＋－＋…＋－)＝。故選C。

　　五、比較大小

　　(1)作差法：對任意兩數(shù)a、b，如果a－b>0，則a>b；如果a－b<0，則a<b；如果a－b＝0，則a＝b。

　　(2)作比法：當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時，如果>1，則a>b；如果<1，則a<b；如果＝1，則a＝b。當(dāng)a、b為任意兩負(fù)數(shù)時，如果>1，則a<b；如果<1，則a>b；如果＝1，則a＝b。

　　(3)中間值法：對任意兩數(shù)a、b，當(dāng)很難直接用作差法或者作比法比較大小時，我們通常選取中間值c，如果a>c，而c>b，則我們說a>b。

　　例題.(2006年湖南省第42題)

　　若x＝123 456 789×123 456 786，y＝123 456 788×123 456 787，則x和y的大小關(guān)系是(　　)。

　　A.x＝y(tǒng)  B.x＜y

　　C.x＞y  D.不確定

　　【解析】此題雖為比較大小的試題，但是解題方法主要使用代換法，設(shè)a＝123 456 788，因此x－y＝(a＋1)(a－2)－a(a－1)＝－2，x＜y。故選B。