數(shù)學(xué)運算當中的“牛吃草問題”是學(xué)生們普遍反映得較為困難的一類題型，華圖老師綜合多次教學(xué)中的授課經(jīng)驗和學(xué)員反饋，對牛吃草問題做如下總結(jié)：

　　在授課過程中，每當講到牛吃草問題的時候，總是先做一番假設(shè)，在草地上有一牧場草和在我們教室有一地牧草供牛來吃是一樣的嗎？總是有的同學(xué)說一樣，也就是說其實在這類問題中有一部分考生并沒有注意到牛吃草問題其實草的量是變化的，把它當作一個簡單的消耗問題來解答，必然會出現(xiàn)錯誤。但大部分學(xué)生還是會注意到牛吃草問題牧場中的草的量是變化的這一問題。

　　對該類問題的解答，授課當中筆者嘗試使用過多種方法講授，從學(xué)生反饋的學(xué)習(xí)效果來看，學(xué)生普遍認為以下兩種方法較易于理解：

　　例題1：一個牧場，可供10頭牛吃20天、15頭牛吃10天，可供多少頭牛吃4天？

　　方法一：將“牛吃草問題”想象成一個非常理想化的數(shù)學(xué)模型：假設(shè)總的牛當中有X頭是“剪草工”，這X頭牛只負責(zé)吃“每天新長出的草，并且把它們吃完”，這樣草場相當于不長草，永遠維持原來的草量，也就成為了一個簡單的消耗性問題了，而剩下的(27－X)頭牛是真正的“顧客”，它們負責(zé)把草場原來的草吃完。便可以根據(jù)幾次“顧客”牛的數(shù)量*時間這個量相等，也就是牧場原本的一地草量相等來列方程。   

　　例題解析：設(shè)每天新增加草量恰可供X頭牛吃一天，N頭牛可吃4天(后面所有X均為此意)

　　可供10頭牛吃20天，  列式：(10－X)*20

　　即：(10－X)頭牛20天把草場吃完

　　可供15頭牛吃10天，  列式：(15－X)*10

　　即：(15－X)頭牛9天把草場吃完

　　可供幾頭牛吃4天？    列式：(N－X)*4

　　即：(N－X)頭牛4天把草場吃完

　　因為草場草量新長出的草已被“剪草工”修理掉，而牧場中原有草量相同，所以，聯(lián)立上面三個式子

　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10＝(N－X)*4

　　左右兩邊各為一個方程，即：

　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10  【1】

　　(15－X)*10＝(N－X)*4     【2】

　　解這個方程組，得  X＝5(頭)    Y＝30(頭)

　　方法二：將“牛吃草問題”與工程問題當中的干擾問題相結(jié)合。例如：工程問題中有這樣一類題目：

　　例題2：(2003年國家B類第11題)一個浴缸放滿水需要30分鐘，排光一浴缸水需要50分鐘，假如忘記關(guān)上出水口，將這個浴缸放滿水需要多少分鐘(   )

　　A.65                B.75                C.85                 D.95

　　題目當中敘述了一缸水有一個進水管和一個出水管同時打開，而進行把一個浴缸放滿水的效果，進水管的效率大于出水管的效率，也就是兩個水管同時工作的總效率為：進水管工作效率-出水管工作效率。我們假設(shè)工程總量為1，于是進水的效率為1/30，出水的效率為1/50。那么根據(jù)工作總量=工作效率*工作時間可以列出如下方程：(1/30-1/50)*t=1。解方程便可以得知同時開放兩個水管把浴缸放滿要75分鐘。此題當中是一個進水管做正功，一個出水管做負功，最后達到將一個空浴缸放滿水的效果這樣一類問題的方法可以總結(jié)為(進水效率-出水效率)*時間=一個浴缸的水。而牛吃草問題與之類似，只是牛吃草問題是牧場原有一地草，經(jīng)過了牛吃和長草兩個同時進行的過程后，一地草消失了。與給浴缸放水問題的差異是，浴缸放水問題進水效率大于出水效率，最后達到空缸變滿缸的效果。而牛吃草問題，吃草效率大于長草效率，最后達到了滿地草變成空地的效率。于是可以找出與浴缸放水類似的等量關(guān)系：(牛吃草的效率-草地長草的效率)*時間=一個牧場的草。而此時就需要我們假設(shè)一頭牛一天只吃一棵草，那么牛吃草的效率在數(shù)量上便可以等價于牛的數(shù)量，于是該等量關(guān)系變成：(牛的數(shù)量-草地長草效率)*時間=一個牧場草。而其中“草地長草效率”和“一個牧場的草”兩個概念都是未知量，我們分別把它們設(shè)為X和Y,根據(jù)題目當中的條件，可以列出下列方程：

　　(10－X)*20

　　＝Y(jié)  【1】

　　(15－X)*10

　�。結(jié)  【2】

　　解這個方程組，得  X＝5(頭)    Y＝100(棵)

　　再假設(shè)草地上的草N�？沙�4天，可以列出下面一個方程：

　　(N－5)*4 ＝100，解方程得：N=30(頭)

　　我們發(fā)現(xiàn)用兩種方法求解，其分析過程不同和假設(shè)的關(guān)系不同，但最后列出的方程其實是同樣的形式。在實際授課中發(fā)現(xiàn)后一種方法學(xué)生接受起來更加容易一些，而且這種方法較易推廣。近年來國考和省考中對牛吃草問題的考察較多，但已經(jīng)完全不見“牛吃草”的表述，有些省份的考題甚至簡單從其外觀無法發(fā)現(xiàn)該問題是“牛吃草問題”。

　　例題3：(2008年江蘇C類第19題)在春運高峰時，某客運中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊以等速度進入大廳按次序等待買票，買好票的旅客及時離開大廳。按照這種安排，如果開出10個售票窗口，5小時可使大廳內(nèi)所有旅客買到票；如果開12個售票窗口，3小時可使大廳內(nèi)所有旅客買到票，假設(shè)每個窗口售票速度相同。由于售票大廳票窗口，大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時內(nèi)使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應(yīng)開售票窗口數(shù)為

　　A.15                B.16                C.18                D.19

　　對于此題已經(jīng)完全不見其中有牛和草的字樣，但仔細分析題目，發(fā)現(xiàn)其實本題也是售票大廳原來站滿了旅客，而同時存在售票使旅客離開和有旅客進入大廳買票兩個效率，而旅客離開的效率大于進入大廳的效率，于是最后售票大廳中的全部旅客成功購票離開。也就是滿大廳變?yōu)榭沾髲d。這樣分析這個過程其實和牛吃草是一樣的，有如下等量關(guān)系：(售票效率-進入旅客效率)*時間=大廳中原有旅客數(shù)量。這樣可以列出如下方程組：

　　(10－X)*5

　　＝Y(jié)  【1】

　　(12－X)*3

　�。結(jié)  【2】

　　解這個方程組，得  X＝7(人)    Y＝15(人)

　　再假設(shè)所求窗口數(shù)為N，(N-1.5*7)*2＝15，解方程得：N=18(個)

　　綜合以上兩個問題，“牛吃草問題”實際上是一個消耗和生產(chǎn)的問題，只是消耗量效率大于生產(chǎn)效率，于是等量關(guān)系變成：(消耗效率-生產(chǎn)效率)*時間=原有量即前后差異量。這樣便無需仔細分析其中的過程便可以應(yīng)用這個等量關(guān)系來列方程，而與假設(shè)1牛1天吃1棵草類似，該等量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為(消耗者數(shù)量-生產(chǎn)效率)*時間=前后差異量。

　　得出這樣一個等量關(guān)系，考生在應(yīng)試當中只要遇到同時有消耗和產(chǎn)出的前后變化問題，都可以用該等量關(guān)系求解。便使這一類學(xué)生視為難點的“牛吃草問題”轉(zhuǎn)化為一個簡單的代公式過程，從而輕松解決。