一、填空題1.一個(gè)六位數(shù)23□56□是88的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以88所得的商是_____
或_____. 2. 123456789 □□，這個(gè)十一位數(shù)能被36整除，那么這個(gè)數(shù)的個(gè)位上
的數(shù)最小是_____. 3. 下面一個(gè)1983位數(shù)33…3 □44…4 中間漏寫了一個(gè)數(shù)字
（方框），已知這991 個(gè) 991個(gè)個(gè)多位數(shù)被7 整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_____.
4.有三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)，它們的和也是兩位數(shù)，并且是11的倍數(shù)。這三個(gè)數(shù)是_____.
5.有這樣的兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和能被4 整除，而且比這個(gè)兩位數(shù)大1 的數(shù)，
它的兩個(gè)數(shù)字之和也能被4 整除。所有這樣的兩位數(shù)的和是____. 6.一個(gè)小于200
的自然數(shù)，它的每位數(shù)字都是奇數(shù)，并且它是兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，那么這個(gè)自然
數(shù)是_____. 7. 任取一個(gè)四位數(shù)乘3456，用A 表示其積的各位數(shù)字之和，用B 表
示A 的各位數(shù)字之和，C 表示B 的各位數(shù)字之和，那么C 是_____. 8. 有0 、1 、
4 、7 、9 五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3
整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第五個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是_____. 9. 從0 、1 、
2 、4 、5 、7 中，選出四個(gè)數(shù)，排列成能被2 、3 、5 整除的四位數(shù)，其中最
大的是_____. 10.所有數(shù)字都是2 且能被66……6 整除的最小自然數(shù)是_____ 位
數(shù)。

    100 個(gè)

    二、解答題11. 找出四個(gè)互不相同的自然數(shù)，使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù)，它
們的和總可以被它們的差整除，如果要求這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡
可能的小，那么這四個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少？

    12. 只修改21475 的某一位數(shù)字，就可知使修改后的數(shù)能被225 整除，怎樣
修改？

    13.500名士兵排成一列橫隊(duì)。第一次從左到右1 、2 、3 、4 、5 （1 至5 ）
名報(bào)數(shù)；第二次反過來從右到左1 、2 、3 、4 、5 、6 （1 至6 ）報(bào)數(shù)，既報(bào)
1 又報(bào)6 的士兵有多少名？

    14. 試問，能否將由1 至100 這100 個(gè)自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5
個(gè)相連的數(shù)中，都至少有兩個(gè)數(shù)可被3 整除？如果回答：" 可以" ，則只要舉出
一種排法；如果回答：" 不能" ，則需給出說明。

---------------答 案----------------------

    1. 2620 或2711一個(gè)數(shù)如果是88的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)必然既是8 的倍數(shù)，又是11
的倍數(shù)。根據(jù)8 的倍數(shù)，它的末三位數(shù)肯定也是8 的倍數(shù)，從而可知這個(gè)六位數(shù)
個(gè)位上的數(shù)是0 或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0 或11的倍數(shù)，從已知
的四個(gè)數(shù)看，這個(gè)六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的，要使奇偶位上數(shù)字和差為
0 ，兩個(gè)方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的，因此這個(gè)六位數(shù)有兩種可能23 0 56 0 或
23 8 56 8 又 230560 88=2620 238568 88=2711所以，本題的答案是2620或2711.

    2. 0因?yàn)?6=9 4，所以這個(gè)十一位數(shù)既能被9 整除，又能被4 整除。因?yàn)?+2+
…+9=45 ，由能被9 整除的數(shù)的特征，（可知□+ □之和是0 （0+0 ）、9 （1+8
，8+1，2+7 ，7+2 ，3+6 ，6+3 ，4+5 ，5+4 ）和18（9+9 ）。再由能被4 整除
的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)是4 的倍數(shù)，可知□□是00，04，…，36，…，
72，…96. 這樣，這個(gè)十一位數(shù)個(gè)位上有0 ，2 ，6 三種可能性。

    所以，這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是0.

    3. 6 33 …3 □44…4 991 個(gè) 991個(gè)=33 …3 10993+3 □4 10990+44…4 990
個(gè) 990個(gè)因?yàn)?11111能被7 整除，所以33…3 和44…4 都能被7 整除，所以只要
990 個(gè) 990個(gè)3 □4 能被7 整除，原數(shù)即可被7 整除。故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是
6.

    4. 10 ，11，12或21，22，23或32，33，34. 三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3
的倍數(shù)，已知其和是11的倍數(shù)，而3 與11互質(zhì)，所以和是33的倍數(shù)，能被33整除
的兩位數(shù)只有3 個(gè)，它們是33、66、99. 所以有當(dāng)和為33時(shí)，三個(gè)數(shù)是10，11，
12；當(dāng)和為66時(shí)，三個(gè)數(shù)是21，22，23；當(dāng)和為99時(shí)，三個(gè)數(shù)是32，33，34. [
注]"三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必能被3 整除" 可證明如下：設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n ，
n+1 ，n+2 ，則n+（n+1 ）+ （n+2 ）

    =3n+3 =3（n+1 ）

    所以，能被3 整除。

    5. 118符合條件的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和能被4 整除，而且比這個(gè)兩位數(shù)大
1 的數(shù)，如果十位數(shù)不變，則個(gè)位增加1 ，其和便不能整除4 ，因此個(gè)位數(shù)一定
是9 ，這種兩位數(shù)有：39、79. 所以，所求的和是39+79=118.

    6. 195因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可以分解為兩個(gè)兩位數(shù)的積，而且15 15=225>200 ，所以
其中至少有1 個(gè)因數(shù)小于15，而且這些因數(shù)均需是奇數(shù)，但11不可能符合條件，
因?yàn)閷?duì)于小于200 的自然數(shù)凡11的倍數(shù)，具有隔位數(shù)字之和相等的特點(diǎn)，個(gè)位百
位若是奇數(shù)，十位必是偶數(shù)。所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200 的三位數(shù)13 13=169
不合要求，13 15=195 適合要求。所以，答案應(yīng)是195.

    7. 9根據(jù)題意，兩個(gè)四位數(shù)相乘其積的位數(shù)是七位數(shù)或八位數(shù)兩種可能。

    因?yàn)?456=384 9，所以任何一個(gè)四位數(shù)乘3456，其積一定能被9 整除，根據(jù)
能被9 整除的數(shù)的特征，可知其積的各位數(shù)字之和A 也能被9 整除，所以A 有以
下八種可能取值：9 ，18，27，36，45，54，63，72. 從而A 的各位數(shù)字之和B
總是9 ，B 的各位數(shù)字之和C 也總是9.

    8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3 整除，∴從中去掉0 或9 選出的兩組四個(gè)數(shù)字組
成的四位數(shù)能被3 整除。即有0 ，1 ，4 ，7 或1 ，4 ，7 ，9 兩種選擇組成四
位數(shù)，由小到大排列為：1047，1074，1407，1470，1479，1497…。所以第五個(gè)
數(shù)的末位數(shù)字是9.

    9. 7410 根據(jù)能被2 、3 、5 、整除的數(shù)的特征，這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位必須是
0 ，而十位、百位、千位上數(shù)字的和是3 的倍數(shù)。

    為了使這個(gè)四位數(shù)盡可能最大，千位上的數(shù)字應(yīng)從所給的6 個(gè)數(shù)字中挑選最
大的一個(gè)。從7 開始試驗(yàn)，7+4+1=12，其和是3 的倍數(shù)，因此其中最大的數(shù)是7410.

    10. 300 ∵66…6=2 3 11…1 100 個(gè) 100個(gè)顯然連續(xù)的2 能被2 整除，而要
被3 整除，2 的個(gè)數(shù)必須是3 的倍數(shù)，又要被11…1 整除，2 的個(gè)數(shù)必須是100
的倍數(shù)，所以，最少要有300 個(gè)連續(xù)的2 方能滿100 個(gè)足題中要求。答案應(yīng)填300.

    11. 如果最小的數(shù)是1 ，則和1 一起能符合" 和被差整除" 這一要求的數(shù)只
有2 和3 兩數(shù)，因此最小的數(shù)必須大于或等于2.我們先考察2 、3 、4 、5 這四
個(gè)數(shù)，仍不符合要求，因?yàn)?+2=7 ，不能被5-2=3 整除。再往下就是2 、3 、4 、
6 ，經(jīng)試算，這四個(gè)數(shù)符合要求。所以，本題的答案是（3+4 ）=7.

    12. 因?yàn)?25=25 9，要使修改后的數(shù)能被25整除，就要既能被25整除，又能
被9 整除，被25整除不成問題，末兩位數(shù)75不必修改，只要看前三個(gè)數(shù)字即可，
根據(jù)某數(shù)的各位數(shù)字之和是9 的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被9 整除的特征，因?yàn)?+1+4+7+5=19，
19=18+1 ，19=27-8 ，所以不難排出以下四種改法：把1 改為0 ；把4 改為3 ；
把1 改為9 ；把2 改為1.

    13. 若將這500 名士兵從右到左依次編號(hào)，則第一次報(bào)數(shù)時(shí)，編號(hào)能被5 整
除的士兵報(bào)1 ；第二次報(bào)數(shù)時(shí)，編號(hào)能被6 整除的士兵報(bào)6 ，所以既報(bào)1 又報(bào)6
的士兵的編號(hào)既能被5 整除又能被6 整除，即能被30整除，在1 至500 這500 個(gè)
自然數(shù)中能被30整除的數(shù)共有16個(gè)，所以既報(bào)1 又報(bào)6 的士兵共有16名。

    14. 不能。

    假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100 個(gè)數(shù)，我們來按所排列順序
將它們每5 個(gè)分為一組，可得20組，其中每?jī)山M都沒有共同的數(shù)，于是，在每一
組的5 個(gè)數(shù)中都至少有兩個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)。從而一共有不少于40個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)。
但事實(shí)上，在1 至100 的自然數(shù)中有33個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)，導(dǎo)致矛盾。