一、填空題1.下圖中一共有（）條線段。

    2.如下圖，O 為三角形A1A6A12 的邊A1A12 上的一點(diǎn)，分別連結(jié)OA2 ，OA3 ，
…OA11，這樣圖中共有_____ 個(gè)三角形。

    3.下圖中有_____ 個(gè)三角形。

    4.下圖中共有_____ 個(gè)梯形。

    5.數(shù)一數(shù)（1 ）一共有（）個(gè)長(zhǎng)方形。

    （2 ）一共有（）個(gè)三角形。

    （1 ）（2 ）

    6.在下圖中，所有正方形的個(gè)數(shù)是______.

    7.在一塊畫(huà)有4 4 方格網(wǎng)木板上釘上了25顆鐵釘（如下圖），如果用線繩圍
正方形，最多可以圍出_____ 個(gè)。

    8.一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板，上面有4 4 個(gè)釘（如右圖）。以
每個(gè)釘為頂點(diǎn)，你能用皮筋套出正方形和長(zhǎng)方形共_____ 個(gè)。

    9.如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有_____ 個(gè)。

    10. 數(shù)一數(shù)，下圖是由_____ 個(gè)小立方體堆成的。要注意那些看不見(jiàn)的。

    二、解答題11. 右圖中共有7 層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小
三角形的個(gè)數(shù)之比。

    12. 下圖中，AB、CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差
是多少？

    13. 現(xiàn)在都是由邊長(zhǎng)為1 厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長(zhǎng)為2 厘
米、4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它們的特點(diǎn)都是正方形的四
邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，
要組成這樣4 個(gè)大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個(gè)？白色正方形多
少個(gè)？

    14. 將 ABC的每一邊4 等分，過(guò)各分點(diǎn)作邊的平行線，在所得下圖中有多少
個(gè)平行四邊形？

---------------答 案----------------------

    1. 30 由例1 注可知圖形中每邊有3+2+1=6 （條）線段，因此整個(gè)圖形中共
有6 5=30條線段。

    2. 37 將 A1A6A12分解成以O(shè)A6 為公共邊的兩個(gè)三角形。 OA1A6中共有5+4+3+2+1=15
（個(gè)）三角形， OA6A12 中共有6+5+4+3+2 +1=21 （個(gè)）三角形，這樣，圖中共
有15+21+1=37（個(gè)）三角形。

    3. 15 這樣的問(wèn)題應(yīng)該通過(guò)分類(lèi)計(jì)數(shù)求解。此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn)
C 的和不含頂點(diǎn)C 的兩大類(lèi)。含頂點(diǎn)C 的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段AB上的和在
線段BD上的兩小類(lèi)。分類(lèi)圖解如下：

    所以原圖有（3+2+1 ）+ （3+2+1 ）+3 =15（個(gè)）三角形。

    4. 18 梯形一共有三行，每行都有3+2+1=6 （個(gè)），所以一共有6 3=18（個(gè)）

    梯形。

    5. 108，36（1 ）因?yàn)殚L(zhǎng)方形是由長(zhǎng)和寬組成的，因此可分別考慮所有長(zhǎng)方
形的長(zhǎng)和寬的可能種數(shù)。按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長(zhǎng)和寬的
線段條數(shù)，將它們相乘就是所有長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。

    因?yàn)锳B邊上有8+7+6+…+2+1= =36 條線段，AD邊上有2+1=3 條線段，所以圖
中一共有36 3=108個(gè)長(zhǎng)方形。

    （2 ）三角形一共有6 行，每行都有3+2+1=6 （個(gè)），所以一共有6 6=36
（個(gè)）三角形。

    6. 30 由例5 注可知整個(gè)圖形中共有12+22+32+42=30個(gè)正方形。

    7. 50 此類(lèi)問(wèn)題一般用分類(lèi)方法計(jì)數(shù)。對(duì)正方形的邊長(zhǎng)分八類(lèi)計(jì)數(shù)如下：邊
長(zhǎng)為AB的正方形有16個(gè)；邊長(zhǎng)為AC的正方形有9 個(gè)；邊長(zhǎng)為AD的正方形有4 個(gè)；
邊長(zhǎng)為AE的正方形有1 個(gè)；邊長(zhǎng)為DF的正方形有9 個(gè)；邊長(zhǎng)為CF的正方形有8 個(gè)
；邊長(zhǎng)為BF的正方形有2 個(gè)；邊長(zhǎng)為CG的正方形有1 個(gè)。

    所以，最多可圍出50個(gè)正方形。

    8. 44 因?yàn)檎�方形是特殊的長(zhǎng)方形，所以可以把正方形看成長(zhǎng)方形，這樣就
不必分別求正方形和長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，仍用分類(lèi)計(jì)數(shù)的方法求解。

    先考慮有一組對(duì)邊平行于BC的長(zhǎng)方形有多少個(gè)。這一類(lèi)按其水平邊的位置可
分為6 小類(lèi)，即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC. 同樣，其豎直邊也分為6 類(lèi)。

    所以這一類(lèi)有6 6=36個(gè)長(zhǎng)方形。

    另一類(lèi)是沒(méi)有邊平行于BC的。這一類(lèi)又分類(lèi)兩小類(lèi)，分解圖如下頁(yè)圖所示，
其中分別有6 個(gè)和2 個(gè)長(zhǎng)方形。

    所以，一共可套出正方形和長(zhǎng)方形36+6+2=44 個(gè)。

    9. 21 以正方形的面積大小分類(lèi)計(jì)數(shù)。

    設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1 ，則正方形面積為1 的有9 個(gè)；面積為2 的有4 個(gè)；
面積為5 的有2 個(gè)；面積為8 的有4 個(gè)；面積為13的有2 個(gè)；所以，共有9+4+2+4+2=21
個(gè)正方形。

    10. 30將原立體圖形從左至右分類(lèi)計(jì)算，共有11+7+5+7=30 個(gè)。

    11. 白色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+ …+6= =21 ，黑色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+ …

    +7= =28 ，所以它們的比= = . 12. 解法一本圖中三角形的個(gè)數(shù)為（1+2+3+4 ）

    4=40（個(gè)）。下面求梯形的個(gè)數(shù)。梯形由兩底唯一確定。首先在AB，CD，EF，
MN中，考慮兩底所在的線段，共有（4 3 ） 2=6（種）選法；對(duì)上述四條線段中
確定的兩條線段，共有10（10=4+3+2+1）個(gè)梯形。共60個(gè)梯形。故所求差為20.
解法二在圖中可數(shù)出4 個(gè)三角形，6 個(gè)梯形，梯形比三角圖形圖形多2 個(gè)。而在
題圖中，這種恰有10個(gè)。故題圖中，梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為2 10=20
（個(gè)）。

    13. 邊長(zhǎng)2 厘米的正方形：2 2=4 （個(gè)）……紅色邊長(zhǎng)4 厘米的正方形（4-1）

    4=12（個(gè)）……紅色（4-2 ）（4-2 ）=4（個(gè)）……白色邊長(zhǎng)8 厘米的正方
形（8-1 ） 4=28 （個(gè)）……紅色（8-2 ）（8-2 ）=36 （個(gè)）……白色邊長(zhǎng)9
厘米的正方形（9-1 ） 4=32 （個(gè)）……紅色（9-2 ）（9-2 ）=49 （個(gè)）……
白色所以，紅色小正方形共有4+12+28+32=76 （個(gè)）

    白色小正方形共有4+36+49=89（個(gè)）

    [ 注] 本題的要求是由邊長(zhǎng)為1 厘米的紅色和白色兩種正方形，分別組成邊
長(zhǎng)是2 厘米，4 厘米，8 厘米，9 厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問(wèn)題
來(lái)解。四周的小正方形是涂紅色的，可看成是空心方陣，因此，涂紅色正方形的
個(gè)數(shù)等于4 （n-1 ）。其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣，所以，涂白
色的正方形的個(gè)數(shù)等于（n-2 ）（n-2 ）。比如，由邊長(zhǎng)為1 厘米的正方形組成
邊長(zhǎng)為9 厘米的正方形，涂紅色的小正方形的個(gè)數(shù)是：4 （9-1 ）=32 （個(gè)），
涂白色的小正方形的個(gè)數(shù)是：（9-2 ）（9-2 ）=49 （個(gè)）。

    14. 將平行四邊形分為三類(lèi)：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；
③尖角在左上、右下方。

    就第①類(lèi)而言：型6 個(gè)；型3 個(gè)，與其對(duì)稱(chēng)的3 個(gè)；型1 個(gè)，與其對(duì)稱(chēng)的1
個(gè)；型1 個(gè)；共15個(gè)。同理，第②、③類(lèi)也分別含15個(gè)，故上述三類(lèi)平行四邊形
共45個(gè)。

    [ 注] 這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩，又易出錯(cuò)。我們?cè)噲D找到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系
：先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形，延長(zhǎng)各邊必與BC有4 個(gè)交點(diǎn)，特殊情
況下，第二個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)重合；反過(guò)來(lái)，BC上的任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個(gè)
平行四邊形，也就是說(shuō)，邊不與BC平行的平行四邊形的個(gè)數(shù)與BC上的四交點(diǎn)組和
三交點(diǎn)組的數(shù)目一樣多。

    由于BC上有5 個(gè)交點(diǎn)，其中可構(gòu)成5 個(gè)4 點(diǎn)組；10個(gè)3 點(diǎn)組，即邊不平行于
BC的平行四邊形有15個(gè)。

    同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行。

    由此可知，共有45個(gè)平行四邊形。