利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問(wèn)題(1)解的存在性問(wèn)題和(2)如何求解的問(wèn)題，這是以線(xiàn)性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的比較基本理論。

　　對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來(lái)表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱(chēng)為一個(gè)線(xiàn)性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

　　通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

　　用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

　　在利用高斯消元法求解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說(shuō)，為了研究從線(xiàn)性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒(méi)有解，有多少解的問(wèn)題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

　　數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱(chēng)為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱(chēng)ai是a的第i個(gè)分量。

　　n元有序數(shù)組寫(xiě)成一行，稱(chēng)為行向量，同時(shí)它也可以寫(xiě)為一列，稱(chēng)為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫(xiě)法不同。

　　矩陣與向量通過(guò)行向量組和列向量組相聯(lián)系。

　　對(duì)給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線(xiàn)性組合。線(xiàn)性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線(xiàn)性方程組有沒(méi)有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線(xiàn)性表出的問(wèn)題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

　　從簡(jiǎn)單例子(如幾何空間中的三個(gè)向量)可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線(xiàn)性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類(lèi)似情況，我們把上述兩種對(duì)向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。

　　通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)(零向量一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)、單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)、單位向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)等等)。

　　從多個(gè)角度(線(xiàn)性組合角度、線(xiàn)性表出角度、齊次線(xiàn)性方程組角度)體會(huì)線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本質(zhì)。