1.三維圈叉游戲

    這是一個(gè)培養(yǎng)兒童形成空間概念的極佳游戲。也可以在紙上畫(huà)出4 ×4 的方
格以代表4 層棋盤(pán)，而用籌碼來(lái)玩，但除非是最聰明的兒童，否則這樣玩是非常
困難的。

    角落中的棋子可控制7 條直線(xiàn)。

    位于邊緣的棋子可控制4 條直線(xiàn)。

    位于上層或下層中央4 個(gè)洞內(nèi)的任何一個(gè)棋子可控制4 條直線(xiàn)。

    位于中間兩層中央4 個(gè)洞內(nèi)的任何一個(gè)棋子可控制7 條直線(xiàn)。

    4 個(gè)棋子共有76條可能連成的直線(xiàn)。在每一層，與邊平行的直線(xiàn)有8 條，再
加上2 條對(duì)角線(xiàn)，所以每一層水平的直線(xiàn)就有10條，4 層總共就有40條。還有16
條垂直線(xiàn)，4 條長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)，以及在8 個(gè)垂直面中，每個(gè)面上的2 條對(duì)角線(xiàn)。

    能擋住所有線(xiàn)的最少棋子數(shù)應(yīng)該是19.

    在任何一層，所有的水平線(xiàn)都可以用如圖1 所示的兩種方式之一加以阻擋。

    在第一種方式中棋子的排列呈對(duì)稱(chēng)形，看起來(lái)很好用，其實(shí)功效不大。第二
種方式只要能恰當(dāng)?shù)丶右赃\(yùn)用，則在每一層除了3 條長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)之外，可以擋住所
有線(xiàn)；然后再加3 個(gè)棋子以阻擋長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)，即得出19的總數(shù)（圖2 ）。但這種解
答缺乏經(jīng)常在此種問(wèn)題中可以找到的對(duì)稱(chēng)性，所以希望讀者能夠找到更令人滿(mǎn)意
的答案，甚至找到使用更少棋子的解答。

    2.可拼出哪些長(zhǎng)方形

    無(wú)法拼出更小的正方形。顯然不可能拼出2 ×2 的正方形，面積為9 平方單
位的3 ×3 正方形也不可能由面積為4 平方單位的形狀組合而成。

    下面的圖中組合出5 ×4 、6 ×4 、7 ×4 、8 ×4 與9 ×4 的長(zhǎng)方形。從
前3 個(gè)圖可以看出如何從一個(gè)解推演出另一個(gè)解，而從8 ×4 的長(zhǎng)方形中則可以
看出要利用到180 °旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。這些解都不是唯一解。例如，將5 ×4 的解放在
4 ×4 的解的旁邊，就可以得到另一種9 ×4 的解。當(dāng)n ≥4 時(shí)，所有n ×4 的
長(zhǎng)方形都是可能拼出來(lái)的，我們很容易就可看出，這可以將上述已知的解組合在
一起而得到。由于產(chǎn)品形狀的面積為4 平方單位，故只需要考慮面積為4n平方單
位的形狀，這就排除了拼出5 ×3 與6 ×5 的長(zhǎng)方形，以及面積為210 平方單位
長(zhǎng)方形的可能性。

    3.八邊形練習(xí)

    從折紙法中可以看出正八邊形所具有的對(duì)稱(chēng)性。在折起的紙上剪出圖案，再
將紙展開(kāi)，并仔細(xì)觀(guān)察圖案的形式，更容易看出正八邊形的對(duì)稱(chēng)性。

    正八邊形有8 條對(duì)稱(chēng)線(xiàn)，4 條經(jīng)過(guò)相對(duì)的頂點(diǎn)，4 條經(jīng)過(guò)對(duì)邊的中點(diǎn)。

    分割謎題的解答如圖所示。作第二個(gè)圖形時(shí)所用的65°角是個(gè)很實(shí)用的近似
值，讀者可以求出精確的角度。

    4.分割問(wèn)題

    圖1 說(shuō)明如何將正方形的鑲嵌圖案置于十字形的鑲嵌圖案之上，從而得到希
臘十字形的第二種分割方法。

    將正方形置于H 形之上，從而找出適當(dāng)?shù)姆指罘绞剑�如圖2 所示。

    另一種十字形則可以很整齊地組合成鑲嵌圖案，而且只要連接這些十字形的
中心，就可以得到正方形的鑲嵌圖案，而這個(gè)圖案將十字形巧妙地分割成4 個(gè)相
等的部分，參見(jiàn)圖3.

    由于T 字形缺乏對(duì)稱(chēng)性，因此這是個(gè)較棘手的問(wèn)題，但從圖4 所示的鑲嵌圖
案中可導(dǎo)出不同的分割方式，圖4 即包含其中兩種。

    這種鑲嵌圖案的技巧并不僅限于直線(xiàn)的圖形中，如圖5.圖中的甕狀鑲嵌圖案，
同樣可以用一組正方形圖案來(lái)說(shuō)明，用兩條直線(xiàn)就能將甕分割成可以重組為一個(gè)
正方形的4 個(gè)部分（請(qǐng)參見(jiàn)《數(shù)學(xué)樂(lè)園。茅塞頓開(kāi)》第86題）。

    所有的12種五連形（《數(shù)學(xué)樂(lè)園。茅塞頓刑第76題）都可以作鑲嵌圖案，練
習(xí)將形狀分割再組合成正方形，這是個(gè)很好的開(kāi)始。不過(guò)還是可以看看你還能發(fā)
現(xiàn)什么，因?yàn)橛袩o(wú)限多種可能。

    圖6 說(shuō)明了如何將H 形分成4 個(gè)完全一樣的部分，而且能重新組成兩個(gè)H.

    只用一條直線(xiàn)就將長(zhǎng)方形分成可重組為一正方形的兩個(gè)部分，則此長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)必為其寬的4 倍，如圖7 所示。

    其他長(zhǎng)方形則可以用階梯式的分割方法分成兩個(gè)可重組為正方形的部分，如
圖8 所示16×9 的長(zhǎng)方形。這種方法對(duì)于其他哪些長(zhǎng)方形也適用呢？

    羅以德分割問(wèn)題的解如圖9 所示。

    5.平行四邊形的面積

    老師可利用一節(jié)課的時(shí)間讓學(xué)生制作這組模型，這會(huì)給學(xué)生留下極深的印象，
教學(xué)效果遠(yuǎn)勝于用形式化的證明來(lái)導(dǎo)出結(jié)果。老師可以用較大的模型做示范，不
過(guò)一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手做。