2010年最新工程碩士GCT數(shù)學(xué)輔導(dǎo)五

1、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知取出的兩件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（0.2）

【思路】在”已知取出的兩件中有一件不合格品”的情況下，另一件有兩種情況(1)是不合格品,即一件為合格品,一件為不合格品(2)為合格品,即兩件都是合格品.對(duì)于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;對(duì)于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提問實(shí)際上是求在這兩種情況下,(1)的概率,則(2/15)/(8/15+2/15)=1/5 

2、某人自稱能預(yù)見未來，作為對(duì)他的考驗(yàn)，將1枚硬幣拋10次，每一次讓他事先預(yù)言結(jié)果，10次中他說對(duì)7次 ，如果實(shí)際上他并不能預(yù)見未來，只是隨便猜測(cè)，則他作出這樣好的答案的概率是多少？答案為11/64。 

【思路】原題說他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7×0.5^3+……C(10 10)0.5^10, 即為11/64. 

3、成等比數(shù)列三個(gè)數(shù)的和為正常數(shù)K,求這三個(gè)數(shù)乘積的最小值

【思路】a/q+a+a*q=k(k為正整數(shù))由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可見簡(jiǎn)化為求a的最小值. 

對(duì)a求導(dǎo),的駐點(diǎn)為q=+1,q=-1. 
　　其中q=-1時(shí)a取極小值-k,從而有所求最小值為a=-k^3.(mba不要求證明最值)4、擲五枚硬幣，已知至少出現(xiàn)兩個(gè)正面，則正面恰好出現(xiàn)三個(gè)的概率。 

【思路】可以有兩種方法： 

1.用古典概型 樣本點(diǎn)數(shù)為C（3，5），樣本總數(shù)為C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是說正面朝上為2，3，4，5個(gè)），相除就可以了；2.用條件概率 在至少出現(xiàn)2個(gè)正面的前提下，正好三個(gè)的概率。至少2個(gè)正面向上的概率為13/16，P（AB）的概率為5/16，得5/13假設(shè)事件A：至少出現(xiàn)兩個(gè)正面；B：恰好出現(xiàn)三個(gè)正面。 

A和B滿足貝努力獨(dú)立試驗(yàn)概型，出現(xiàn)正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。 

5、設(shè)有n個(gè)球和n個(gè)能裝球的盒子，它們各編有序號(hào)1,2,….n今隨機(jī)將球分別放在盒子中，每個(gè)盒放一個(gè)，求兩個(gè)序號(hào)恰好一致的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。（答案：1）

【思路】1/nn，N個(gè)球進(jìn)N個(gè)盒有N的N次方種排列，對(duì)號(hào)入座只有1種排列。 

6、若方程x2+p*x+37=0恰有兩個(gè)正整數(shù)解x1,x2,則((x1+1)*(x2+1))/p=? 
　　(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1

【思路】題目說有兩個(gè)正整數(shù)的根，故只能是1和37，p=-387、設(shè)F(n)=(n+1) n-1(n為自然數(shù)),則F(n): 

(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 ….. 

【思路】用二項(xiàng)式定理去做第二題，只考慮n的系數(shù)，有一個(gè)含n的項(xiàng).系數(shù)中還有一個(gè)n.答案應(yīng)為b。 

8、一張盒子中有4張卡片，其中兩張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是綠色，一張卡片一面紅一面綠。任取其中一張，觀察其一面的顏色，如果被觀察的一面是綠的，求另一面也是綠色的概論。 

【思路】設(shè)A=被觀察的一面是綠的，B=兩面都是綠,則需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所給答案卻2/3？ 

9、 在房間中有10個(gè)人,分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章,任選3人記錄其紀(jì)念章號(hào)碼,求:(1)最小號(hào)碼為5的概率，(2)最大號(hào)碼為5的概率. 

【思路】最小號(hào)碼為5 的概率： 

號(hào)碼5已確定，另外2人的號(hào)碼應(yīng)從6、7、8、9、10中選出,所以概率為10/120＝1/12同樣最大號(hào)碼為5的概率： 
　　號(hào)碼5已確定，另外2人的號(hào)碼應(yīng)從1、2、3、4中選出,所以概率為6/120＝1/20

10、從5 雙不同的鞋子中任取4 只,求這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少? 

【思路】可以這樣理解，先算出沒有兩只配成一雙的情況，然后用1去減一下便可。4只鞋中沒有配成一雙的情況：10只鞋按配對(duì)分成5組，只要每次從一組中取出一只便能保證沒有配成雙的情況，那么組合數(shù)為： 10×8×6×4任取4只的組合數(shù)為：10×9×8×7所以沒有2只配對(duì)的概率為：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21故至少2只成對(duì)的概率為1－8/12＝13/21

11、設(shè)有一個(gè)均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區(qū)間[0，1）上的諸數(shù)字，另一半上均勻地刻上區(qū)間[1，3）上的諸數(shù)字。旋轉(zhuǎn)這陀螺,求它停下來時(shí)其圓周上觸及桌面的點(diǎn)的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。 

【思路】設(shè)陀螺觸及桌面的點(diǎn)的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分別為p(01),p(13),p1,p2,則： 

p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8

12、設(shè)某家庭有3個(gè)孩子，在已知至少有一個(gè)女孩的條件下，求這個(gè)家庭中至少有一個(gè)男孩的概率。 

【思路】設(shè)A為三人中至少有一個(gè)女孩，B為已知三人中有一個(gè)女孩另外至少有一個(gè)男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。 

(這樣分析是認(rèn)為三個(gè)孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三種情況，總共有八個(gè)樣本，這比拋硬幣難理解一些）

13、求極限部分不能正常顯示，想要具體復(fù)習(xí)資料可以到清華版教材和相關(guān)復(fù)習(xí)資料。 

14、求極限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趨于正無窮）；

【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正無窮=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/2

15、如果數(shù)列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),則{An}的通項(xiàng)公式An＝？ 

【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n => 

A2/A1=2 , A3/A2=2^2 ….. 

(A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2

16、設(shè)有4只壞，每只都能以同樣的落入4個(gè)格子中的任一個(gè)，求前2個(gè)球落入不同格子中的概率。 

【思路】分別設(shè)四球?yàn)?號(hào), 2號(hào)，3號(hào)和4號(hào)1號(hào)球落入某個(gè)格子有4種可能，那么2號(hào)球就只有3種可能3號(hào)4號(hào)可落入4個(gè)格子中的任意，有4，4種可能所以應(yīng)為4*3*4*4/44

17、甲，乙二人同時(shí)同地繞400米跑道賽跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次趕上乙，求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案為a/x)【思路1】原方程兩邊對(duì)Y進(jìn)行求偏導(dǎo)xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)與f’(y)都是對(duì)y偏導(dǎo)數(shù)xf’(x*1)=f’(1)=a      得 f’(x)=a/x【思路2】當(dāng)⊿x→0時(shí)，令x+⊿x=xz則z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x    =f’(1)/x=a/x

18、已知函數(shù)f(x+y,x-y)=x2-y2, 則f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)加f對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】設(shè)U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y   選A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y), 

令u=x+y, v=x-y, 則f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案為(b). 

結(jié)論：b應(yīng)該是對(duì)的，復(fù)合函數(shù)是相對(duì)與自變量而言的，自變量與字母形式無關(guān)，參見陳文燈的考研書。 

19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，則k的取值范圍是什么？答案為（-2，-1）U（3，4）

【思路】畫圖可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入計(jì)算即可A,B是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)事件，則————A. A-(B-A)=A-B      B. A-(B-A)=A

【思路】b,利用定義可得

20、設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)是F(X),如果EX存在，則當(dāng)x->+∞時(shí)，1-F(x)是1/x的___。 
　　A、等價(jià)無窮小           
　　B、高價(jià)無窮小
　　C、低價(jià)無窮小           
　　D、同價(jià)無窮小

【思路】由于EX存在，xf(x)的無窮積分收斂且為1／x的高階無窮小；因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=1/x的無窮積分積分不收斂可知，由比較判別法可知，如果為同階或低階無窮小，則xf(x)不收斂。 

21、設(shè)有編號(hào)為1，2，3，…,n的n個(gè)求和編號(hào)為1，2，3，…,n的n個(gè)盒子�，F(xiàn)將這n個(gè)球放入n個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有2 個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為？ 

【思路】任給2 個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同,則剩下n-2個(gè)球沒有一個(gè)編號(hào)相同；而剩下n-2個(gè)球沒有一個(gè)編號(hào)相同的概率為1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!；［注意：上面用到了這n個(gè)球放入n個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，至少有一個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同的概率為1－1／2�。�1／3�。�…＋（-1）^(n-1)/n!;］故恰好有2 個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同的概率為(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)；給定2個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同后可能的投放方法為(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!). 

n個(gè)球中任取兩個(gè)的可能取法為C(2,n);2者相乘得出：恰好有2 個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同，的投放方法的總數(shù)為C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!). 

當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，取法為（n!/2）*[e^(-1)];

【思路】如果以m代替2，通解為C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)

注：機(jī)工版P52頁(yè)21題如下： 

設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)求和編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子�，F(xiàn)將這5個(gè)球放入這5個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有2 個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為？ 

取n=5;取法為(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20庫(kù)房有十箱零件（每箱都有許多），有6箱用新工藝做的，全合格。其余用舊工藝完成，75％的合格率�，F(xiàn)隨機(jī)打開一箱取出三個(gè)，檢查其中一個(gè)為合格品，求另外兩個(gè)也合格的概率。 

（答案為41/41=0.85）

【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工藝 C=舊工藝P（B）=0.6 P（A/B）=1 P（C）=0.4 P（A/C）=3/4所求：P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）P（A1）=P（B）P（A1/B）+P（C）P（A1/C）=0.9P（A1*A2*A3）=P（B）P（A1*A2*A3/B）+P（C）P（A1*A2*A3/C）=0.6+0.4*（3/4）3P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）=41/48