31. 推銷(xiāo)員的旅程問(wèn)題

    這類(lèi)問(wèn)題非常值得討論，因?yàn)樗鼈兣c實(shí)際生活密切相關(guān)。雖說(shuō)問(wèn)題本身很簡(jiǎn)
明，但令人困惑的是，至今沒(méi)有得出任何解析解。

    李文黛的最短路徑為91英里，她的行程如下所示：

    如果把漢尼頓列入行程中，則最短行程為：艾克塞特→歐卡漢頓→克雷頓→
提文頓→卡林頓→漢尼頓→艾克茅茲→艾克塞特，總里程數(shù)為100 英里。

    因?yàn)樽疃绦谐痰母髀肪�(xiàn)彼此不相交錯(cuò)，故其行程為一簡(jiǎn)單封閉曲線(xiàn)，所以不
論以哪一個(gè)城鎮(zhèn)作為起點(diǎn)及終點(diǎn)，其里程數(shù)均相等。但是如果起點(diǎn)和終點(diǎn)可以在
不同的城鎮(zhèn)，那么只要將整個(gè)行程顛倒過(guò)來(lái)（依原行程反向而行），以艾克塞特
為起點(diǎn)，歐卡漢頓為終點(diǎn)，則可節(jié)省23英里的路程。

    找到走完“十巖”的最短路徑是相當(dāng)有趣的問(wèn)題。作者相信上圖所示的路徑
為最短路徑，但讀者也可提出反駁（注意：高度的變化、橫越河流與地勢(shì)的差異
都是健行者考慮的因素）。最短的路徑為16.6英里。

    在尋找最短路徑時(shí)，需要了解如果從A 到B 的路徑由A 、B 兩點(diǎn)的直線(xiàn)改為
經(jīng)過(guò)中間點(diǎn)P ，可能會(huì)使路程增加。如果∠APB 不比180 °小很多，則幾乎可以
忽略增加的路程；但當(dāng)∠APB 為銳角時(shí)，則路程將會(huì)顯著增加。參考上列的路線(xiàn)
圖，并比較由克蘭密爾池經(jīng)荒野巖到懸石巖，以及由毛皮巖經(jīng)野兔巖到布雷克巖
這兩小段路徑因?yàn)榻?jīng)過(guò)中間點(diǎn)而增加的里程。

    33. 尋找寶藏

    將坐標(biāo)變換與尋寶圖結(jié)合，使這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加有趣了。在解決了幾個(gè)
問(wèn)題之后，你可以試著自己設(shè)計(jì)藏寶圖與線(xiàn)索。

    此題的寶藏位在（7 ，3 ），每一條線(xiàn)索所指示的地點(diǎn)為：

    （1 ）→（1 ，3 ）（2 ）→（4 ，3 ）（3 ）→（4 ，7 ）（4 ）→（6 ，
7 ）

    （5 ）→（8 ，5 ）（6 ）→（5 ，8 ）（7 ）→（11，7 ）（8 ）→（7 ，
3 ）

    34. 平行線(xiàn)的限制

    此題并不需要使用三角學(xué)的知識(shí)去計(jì)算三角形的大小。

    先在直線(xiàn)l 上任取一點(diǎn)A 點(diǎn)，然后用描圖紙和一個(gè)量角器將3 條平行線(xiàn)l 、
m 、n 自定點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，而得出l ＇、m ＇、n ＇這3 條平行線(xiàn)（圖1 ）。

    這個(gè)旋轉(zhuǎn)將自動(dòng)地映射三角形的AC邊，而作出AB邊的圖（參見(jiàn)第69頁(yè)的圖形）。
換言之，C 映成B ，所以經(jīng)過(guò)C 點(diǎn)的直線(xiàn)n 將映成經(jīng)過(guò)B 點(diǎn)的直線(xiàn)，所以B 點(diǎn)為
直線(xiàn)n ＇與m 的交點(diǎn)。在找到AB邊之后，很容易完成等邊三角形ABC.以A 點(diǎn)為中
心，依順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，則可找出C 點(diǎn)就是直線(xiàn)m ＇與n 的交點(diǎn)。

    要作出頂點(diǎn)分別落在平行四邊形的4 條邊上的正方形也可以利用旋轉(zhuǎn)來(lái)處理。
這個(gè)問(wèn)題可以利用90°旋轉(zhuǎn)來(lái)解。

    在圖2 中的平行四邊形PQRS內(nèi)有一個(gè)正方形ABCD，圖3 顯示出PQRS對(duì)其中心
旋轉(zhuǎn)90°后的情形。這時(shí)正方形的4 個(gè)頂點(diǎn)可由下列直線(xiàn)的交集清楚地定義出來(lái)
：

    A ＝PQ∩S ＇P ＇，B ＝QR∩P ＇Q ＇

    C ＝RS∩Q ＇R ＇，D ＝SP∩R ＇S ＇

    使用描圖紙來(lái)輔助P ＇Q ＇R ＇S ＇的繪圖，可直接作出正方形ABCD的圖形。

    圖4 顯示出正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在平行四邊形之外的情形，這個(gè)問(wèn)題是要你
找出頂點(diǎn)落在兩對(duì)相交的平行線(xiàn)上的正方形。

    35. 盒子游戲

    許多孩子都很喜歡玩這個(gè)游戲，教師們不妨把它作為指派給學(xué)生的第一份研
究作業(yè)。“假設(shè)…，會(huì)怎么樣？”這類(lèi)問(wèn)題對(duì)孩子而言應(yīng)不至于太困難，他們可
以借此課題做一些簡(jiǎn)單的分析練習(xí)。